原刊《自然科学史研究》2003年4期第2期第168-172页

《算数书》中“以睘材方”、“以方材睘”两问校证

段耀勇   邹大海

(中国科学院自然科学史研究所,中国北京,100010

   摘要:张家山汉墓出土《算数书》中“以圜材方”、“以方材圜”两问是《算数书》校勘工作的难点之一。本文在分析一些校勘得失的基础上,采其所长,根据脱简以及古人误认二问互逆等方面的情况,对二问文字进行了新的校勘。

关键词: 算数书    以圜材方      以方材圜

分类号:O112

1、《算数书》中的“以睘材方”、“以方材睘”问题

   《算数书》是19831984年之交在湖北江陵张家山一座下葬于公元前186年或稍晚的247号汉墓中出土的竹简数学书。其内容之丰富、算法之深刻,虽逊于《九章算术》,但与六七百年后编成的《孙子算经》相比毫不逊色,因此它对中国数学史研究的重要性是不言而喻的。所以,从2000年秋发表其释文以来,即受到广泛的关注,并出现了多家校勘。由于原简抄写工作粗疏、竹简残坏等原因,尽管前人的校勘贡献很大,但仍有一些问题还有待进一步探索。本文拟讨论的“以睘材方”、“以方材睘”即属于这种情况。

   这两个问题的原文如下:

   以睘材方:以圜材为方材曰大四韦二寸廿五分寸十四为方材几何曰方七寸五分寸三术曰因而五之为实令七而一四

   以方材睘:以方为圜曰材方七寸五分寸三为圜材几何曰四韦二寸廿五分十四术曰方材之一面即圜材之径也因而四之为实令五而成一[1]

上引二条中,“睘”通“圜”,也就是“圆”的意思;题名中“材”通“裁”;“韦”通“围”,这些原简整理小组已经标出[1-3]。上述文字无法读通,其中必定存在错误。

2、诸家校勘介绍

   上述两个问题的校勘,已有多位学者做出了贡献,为我们进一步的研究提供了基础。为明白起见,我们在被改动的原文外加()表示,在修正后或增补的文字外加[ ]表示。

21苏意雯、苏俊鸿、苏惠玉等校勘

苏意雯、苏俊鸿、苏惠玉等[4]认为,“以睘材方”条是讨论圆周与其内接正方形周长的关系。因为古人误将正方形边长与其对角线的近似比“方五斜七”推广为正方形与其外接圆的周长之比,所以“以睘材方”题就是由圆周长“四韦二寸廿五分寸十四”即寸(这里“韦”通“围”,被解释为长度单位,等于一尺)求圆内接正方形的边长,其解法为:

于是他们将“以睘材方”问校正为:

以睘材方:以圜材为方材,曰大四韦二寸廿五分寸十四,为方材几何?曰方七寸五分寸三。术曰:因而五之为实,令七而一,四[而一]

    对于“以方材睘”问题,他们认为是讨论正方形与其内切圆的周长的关系,这与“以睘材方”本不是逆问题,但古人似误认为两问互逆,故其算法亦为逆运算:。苏意雯等认为“原文并不完整,可能有遗漏的地方”,故未做具体的校勘。

22 彭浩先生等的校勘

   彭浩先生[3]对前问的校勘作:

   以睘材方:以圜材为方材,曰:大四韦二寸廿五分寸十四,为方材几何?曰:方(七)[][一百]五分寸(三)[十四]。術曰:因而五之为实,令七而一(四)[][为法]

彭浩先生也以“韦”为一尺,认为“以睘材方”是已知圆周长求其内接正方形的边长,其方法是以近似圆周率3除周长,得到正方形的对角线,再由“方五斜七”之率得到正方形的边长:寸。这样,他改动了答案的数字,并把术文末的“四”改为“三”,并在后面添“为法”二字。

彭先生对后问的校勘作:

以方材睘:以方为圜,曰:材方七寸五分寸三,为圜材几何?曰:四韦(二)[]寸廿五分[](十四)[]。術曰:方材之一面即圜材之径也,因而(四)[]之为实,令(五)[]而成一[为法]

他认为本题是由正方形与其内切圆的面积之比43(圆周率取3),求该内切圆的面积。“材方七寸五分寸三”是说正方形的边长为寸,因而内切圆面积为:(平方寸)。这样,他改动了答案和术文中的很多文字。

《张家山汉墓竹简》一书采用彭先生的校勘[1],但没有把“以睘材方”末的“四”改为“三”,不知是否排印错误。

23郭书春先生的校勘

郭书春先生认为[5]“以睘材方”是已知圆的直径和其内接正方形边长之差,求正方形的边长;古人认为正方形的边长与对角线(即圆的直径)之比为57。据此思路,他将本条校正为:

以圜材方:以圜材为方材,曰大四韦二寸廿五分寸十四,为方材几何?曰方(七)[]寸五分寸(三)[]。术曰:[直大四韦],因而五之为实,令七而一四

其算法为:

郭先生认为“以方材睘”条是已知正方形的边长,求其对角线与其内切圆的直径之差,于是他把此条校勘为:

以方材睘:以方为圜曰材,方(七)[]寸五分寸(三)[],為圜材几何?曰:四韦二寸廿五分十四。術曰:方材之一面即圜材之徑也,因而(四)[]之为实,令五而成一。

其算法为:

按此说,“四韦”似指正方形的边框。这一校勘的前提是认为古人要探讨的是圆与其内接正方形或外切正方形之间的最大宽度和正方形边长的关系。“一四”被理解为“十四”,“令七而一四”被认为是“令七之,如十四而一”,这种理解有些特殊,校者没有给这方面的用例。

24郭世荣先生的校勘

  郭世荣先生也认为[6]“以睘材方”、“以方材睘”两条是关于圆的直径与其内接、外切正方形边长关系的题目。因而校勘为:

以睘材方:以圜材为方材,曰大四韦二寸而廿五分寸(十)[廿]四,為方材几何?曰:方七寸五分寸(三)[]。術曰:因而五之为实,令七[],而(一)[][成一]

以方材睘:以方[]为圜(曰材)[材,曰]方七寸五分寸(三)[],为圜材几何?曰:四韦二寸廿五分[](十)[廿]四。术曰:方材之一面即圜材之径也,因而(四)[]之为实,令五而成一。

这两种校勘的相应算法分别为:

两位郭先生的校勘,其区别在于对题设、答案数字的正误有着不同的预设。

3、分析与探讨

洪万生、林仓亿先生对《算数书》的校勘问题,曾将一些学者的工作做了汇总,也把诸家校勘上述两个问题的不同意见陈列出来,认为“不同的校勘策略,产生了不同的风貌,至于孰是孰非,孰优孰劣,目前尚无定论”,但没有具体分析各家校勘的合理与不合理因素,亦未提出新的校勘意见。下面我们来作一具体分析。

苏意雯等先生和彭浩先生都把“韦”解释为长度单位,并都认为“以睘材方”条是:已知圆周长,求其内接正方形的边长。但前者假设圆周和内接正方形周长之比为75,而后者则假设古人知道正方形对角线与其边长之比为75。从预设来看,似乎彭先生的更合理。但彭先生需要改动答案中和术文中的多处文字,而苏先生等则只需要在文末补两个字。

苏先生等认为“以方材睘”条是已知正方形边长,求其内切圆的周长。这两个问题古人认为是互逆的,提供的算法也是两个互逆的运算。今天我们容易知道,这两个问题不是互逆问题,其算法也不是互逆的。按苏先生等的理解,古人原本就犯了算理错误的毛病。

彭浩先生认为“以方材睘”是已知正方形边长,求其内切圆面积。以此为出发点,彭先生改动了答案和术文。两个问题答案和题设的原文字是互换的,它们的术文的现存文字中也有以法和实互换之处,而按彭先生的校勘,似乎古人把两条看成没有联系的两个问题,这与古人的原意恐有明显的出入。

两位郭先生都认为古人是讨论已知圆的直径大于其内接正方形的边长之数,求正方形的边长,和已知正方形的边长,求其对角线与其内切圆的直径之差。两家校勘出发点的区别是:郭书春先生于前问据题设数字改动答案,于后问则据答案数字改动题设;郭世荣先生则把两问的题设和答案都做了校改。另外,“令七而一四”,郭书春先生径直理解为乘以7再除以14,郭世荣先生则校改为“令七乘,而十四成一”。但是两位郭先生要把前问的“大四韦”理解为圆的直径与内接正方形边长之差总让人觉得有些别扭,把后问的“四韦”理解为正方形的对角线与其内切圆直径之差就更费解了。

4、新的校勘

从两个问题的答案和题设互换,及原简现存术文提供的算法亦有反过来的部分看,古人是认为这两个问题是互逆的,从今天的知识容易知道古人的这种看法是错误的。因此不能根据算理同时校正两个问题的数字。

苏意雯等的理解,正好可以不改题设和答案的数字,因此这种理解是很可取的,我们采用他们对第一个问题的校改,于末尾补“而一”二字[5]。从原简照片看,此问题的现存文字正好占一支全简([1],图版部分第95页第153号简),故后面脱简的可能性是存在的。这正好使计算步骤与“以方材圜”中的术文“四之”相逆。

由于古人认为这是两个互逆问题,计算方法也是互逆的,因此我们据“以睘材方”中的“令七而一”,在“以方材圜”条的术文中于“因而”之前补“七之”是合理的。“以方材睘”中“曰材”郭世荣先生改为“材曰”,也是可取的。因此两问可校正如下:

以睘材方:以圜材为方材,曰大四韦二寸廿五分寸十四,为方材几何?曰方七寸五分寸三。术曰:因而五之为实,令七而一,四[而一]

以方材睘:以方为圜(曰材)[材,曰]方七寸五分寸三,为圜材几何?曰:四韦二寸廿五分十四。术曰:方材之一面即圜材之径也,[七之],因而四之为实,令五而成一。

参考文献

[1]    张家山二四七号汉墓竹简整理小组:《张家山汉墓竹简[二四七号墓]》,       北京:文物出版社,2001年。《释文注释》部分第268页。

[2]    江陵张家山汉简整理小组:《江陵张家山汉简〈算数书〉释文》,《文物》       2000年第9期,第78-84页。

  [3] 彭浩,张家山汉简《算数书》注释[M],科学出版社:2001年,109-11381-82

      [4] 苏意雯,苏俊鸿,苏惠玉,等.《算数书》校勘[J]HPM通讯,2000年第 3卷第11期,第1-20页.

    [5] 郭书春.《算数书》校勘[J],《中国科技史料》2001年第22卷第3期,第202219页。

     [6] 郭世荣.《算数书》勘误[J].内蒙师大学报(自然科学版),2001年第3期,第283-284页。

[7] 洪万生、林仓亿:《〈算数书〉部分题名的再校勘》,《HMP通讯》第5卷第23合期(20023月)第6-24页。

 

New Collations of the Two paragraphs “Yi Yuan Cai Fang” and “Yi Fang Cai Yuan” in the Unearthed Mathematics Book “Suanshu Shu”

DUAN  Yao-yong         ZOU Da-hai

(Institute for the History of Natural Sciences, CAS, 100010, Beijing, China)

 

Abstract: The two paragraphs “Yi Yuan Cai Fang” and “Yi Fang Cai Yuan” are difficulties in the unearthed mathematics book Suanshu Shu. This paper analyzes the successes and failures of the collations given by several scholars. Based on the advantages of other scholars, the authors provide their new collations according to the proposition that one bamboo strip was lost and the ancients misconstrued that the two problems were converse.

 

Key words: Yi Yuan Cai Fang; Yi Fang Cai Yuan; Suanshu Shu; collation