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出土《算数书》初  *

邹大海

(中国科学院自然科学史研究所,北京 100010

摘要  最近发表的《算数书》释文为研究中国上古数学的发展提供了新的契机。文章通过分析《算数书》的体例和结构,对照《算数书》与《九章算术》,并结合其他文献和社会背景进行考察,得出以下结论:《算数书》是至少有两个来源的撮编之书,它与《九章算术》没有直接的文本影响关系,它们在先秦可以追溯到共同的来源,《九章算术》的主要方法产生于先秦,《算数书》是利用某种后来演变为《九章算术》主要来源的先秦数学著作或其衍生本的数学方法并结合下层官吏管理的实际而编成的作品。《算数书》有助于确立先秦至秦汉实用算法式数学发展演变的历史。

关键词  算数书  九章算术  先秦与秦汉数学

    19831984年之交,在湖北江陵张家山247号墓出土了一批竹简,除法律文书、兵书、医方书、日书、历谱和遣册等外,还有一部数学著作。此书的一支简背面有“算数书”三字,被定为书名。考古学家推定该墓下葬于公元前186年或稍晚,《算数书》的编写年代自然要更早一些。《算数书》是目前已知最早的中国数学著作,其内容丰富,李学勤先生称为之为“中国数学史上的重大发现”。但由于发表的内容只是一鳞半爪,以往的研究受到很大的限制。最近发表的《算数书》释文全文[1] [①] ,使我们在很大程度上领略到编成早于今传本《九章算术》至少一个半世纪的算书原貌。尽管有关整理《算数书》的报告和原简的照片尚未发表,但这份释文无疑会对中国早期数学研究乃至对反思早期科学史研究的方法产生很大的推动作用。本文是对《算数书》的一些初步研究,其中有的结论带有推测性质,可能会被以后更深入的研究和新的考古发现所修正、推翻或证实。现供诸同好,希望大家批评指教。

1、《算数书》的性质

《算数书》的时代,彭浩先生认为其大部分算题形成至迟不会晚过秦代,有的是战国时代[2]。这一看法应该是正确的。《算数书》中有两个题末尾处分别写有文字“王已雠”、“杨已雠”,应分别是姓王的人、姓杨的人已校对的意思。另有多处写“王”或“杨”字,此二字与上下文难以协调,甚至必须去掉才能读通,也应表示“王已雠”或“杨已雠”的意思。这种情况说明《算数书》应是从别处抄的,不会是墓主去世前的作品,因为如果是他自己所著,只要他看一看就行了,不必请人校对。《算数书》的这个版本也不会是墓主本人从几本不同的书编抄到一起的原本(虽然是撮编之书),否则一人校到一个问题中间就停下来而不把该问题校完的可能性就不会太大。此外,此书“合分”条中“五人分七钱少半、半钱,……,亦六钱以为实”一段是“经分”类问题,而书中有“径(经)分”一条,此段本不应放在“合分”条中,这种明显的差错不大可能是整理者的过错,这也许正好说明《算数书》的这个版本,不是它的原始版本,而是从别的《算数书》版本抄来的。因此,虽然此本《算数书》的抄写年代之下限可能晚到公元前186年下葬前夕,但此书的编成年代应早过若干年,可能在秦代或略早。

    据考古学者整理的释文,《算数书》有如下68个标题:

1相乘,2分乘,3乘,4矰(增)减分,5分当半者,6分半者,7约分,8合分,9径分,10出金,11共买材,12狐出关,13狐皮,14女织,15并租,16负米,17金贾(价),18舂粟,19铜秏(耗),20传马,21妇织,22羽矢,23桼(漆)钱,24缯幅,25息钱,26(饮)桼(漆),27税田,28程竹,29医,30石(率),31贾盐,32挐脂,33取程,34秏(耗)租,35程禾,36取枲程,37误券,38租吴(误)券,39粺毁(毇),40秏,41粟为米,42粟求米,43米求粟,44米粟并,45粟米并,46负炭,47卢唐,48羽矢,49丝练,50行,51分钱,52米出钱,53方田,54除,55郓都,56刍,57旋粟,58囷盖,59睘(圜)亭,60井材,61以睘(圜)材方,62以方材睘(圜),63睘(圜)材,64启广,65启从(纵),66少广,67大广,68里田。

以上68条的标题,释文都以黑体标记。另在第41“粟为米”条下并列有“粟求米”一条(暂记为41a),此标题未用黑体字标记,不知是否排印或原简有误,算上此标题共69个。

    69个标题统领着《算数书》的各部分内容,其中的题目可以归入今传汉代编成本《九章算术》中方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足等章的题目类型,涉及今天的整数和分数四则运算、各种比例、面积、体积、负数、双设法的内容。其广度和深度虽稍逊《九章》,但已包括着十分丰富的知识。那么这本书是否有一个严整的体系呢?

    我们先看看这些标题。它们的取名方法各异,兹略加归纳,列如下表:

表1  条目命名分类表

类序号

第一类

第二类

第三类

第四类

类别

依据

数学方法

摘取字词(或词句的概括表达)

对问题的描述

其他

标题号

2789306468

45101216202224262932404450536063

13111719232531414351526162

6

小计

10

41

17

1

以上归类难以做到十分严格,各人考虑问题的倾向不同会有一定出入,特别是第二、三两类有很多交叉。第6条应有大量夺误,据现存文字难以判定,姑且单列一类。另外,第30条因正文中有“石率之术”的说法,第66-68条因在《九章》中有对应的术名,而第64-65因与67-68的取名情形相似,我们都归入第一类,实际放宽了这类的标准(它们都可以归入第二类)。尽管上表的分类存在一定误差,但足能反映《算数书》的标题绝大部分不是按数学方法命名的,其取名带有很大的随意性,特别是摘取字词的第二类命名方法用得最多,第三和第四类亦不反映作者在体系方面有较多考虑。因此,从标题上看,《算数书》在体系方面考虑不多。

再看看《算数书》每条内部及各条之间的关系。《算数书》中有大量的计算术文,还有一些换算标准,这些术文或标准的大多数都在同一条内伴有对应的例题、答案,同时这些术文或标准大都具有普适性,甚至《算数书》中有的术文本身还蕴涵算法的理论依据(如46条“负炭”题的术文即是)。这反映出当时的数学确实是有理论基础的。

《算数书》第1-35-9条为数字计算(主要针对分数)问题或方法;第4条讨论分数值与分子、分母的变化关系;第10-53条主要是采用分数四则运算、各种比例和双设法等的应用问题或解决方法,也有少数条文中不包括计算问题和计算方法,而只是换算标准,如3541条;第54-60条为体积问题;第61-68条是几何问题。忽略整理者排列的误差,这些条目之间还是有一定关系的,如第3541条提供的换算比例大多在第394041a43-45条中用到,第6162条可能是互逆问题,等等。这些说明书的编作者还是有一些归类的意图的。

但是,《算数书》多数条目之间仍显松散,主要呈并列的关系,作者并没有把各种术文组织成体系,同类问题也没有一个归类来统领,因此全书像是问题、方法、标准的堆砌,体现一种松散杂乱的状态。特别是与《九章》 [②] 相比时更是如此。如第53“方田”条不是《九章》方田章的问题,而是用双设法化为盈不足术求解的应用题。第1“相乘”条罗列一大堆乘法计算后在末尾附有“乘分之术”,接着的第2“分乘”条专列出与之内容相同的“分乘分术”,它们显然是分数乘法法则,即《九章》方田章第21问后的“乘分术”(《算数书》少“实如法而一”一句)。《算数书》第7“约分”条介绍具有普适性的约分术,书中大多数问题的答案约了分,也有些答案如第14“女织”条、44“米粟并”条却不约分。这说明《算数书》不是精心编纂的著作。尤其值得注意的是,《算数书》第35“程禾”条引到云梦睡虎地出土的秦国法律(详下),以粟、粝米、糳米、毇米等的换算比例为16 1098,而书中其他地方均不出现涉及糳米的问题,但在第394152三条中不用糳米而用粺米,且凡用粺米之率皆取9(即糳米之率),前后一致。这说明第35条秦律和第394152三条不是同一个来源而至少有两个来源。另外还有两点值得注意,一是《算数书》有的答案计算错误,如第27“税田”条,31条“贾盐”,第40条的最后三个答案即是。二是与《九章》对照看,《算数书》用到某类方法,如比例、比例分配、盈不足等类方法,但并没有出现今有术、衰分术(和返衰术)、盈不足术的本术的完整表达;同时这些情形又不属于用几个例子归纳出一个共同的方法的情况,因此,这些情形应看成是今有术、衰分术(返衰分术)、盈不足术等的应用或变通。

基于以上理由,笔者认为:《算数书》不是一本精心策划的数学专著,其性质属于一部撮编的问题、方法、标准等的文集;即使其本身有一主要来源,其主要母本也是撮编之书。此书所取材的各部分当是利用其他更有系统的著作,结合社会经济管理工作的实际进行衍生和应用的结果,它为下层官吏管理的需要服务。

2、《算数书》与《九章算术》的关系

   《算数书》与《九章》的关系,是一个容易引起大家关注的问题。由于《算数书》至少要比《九章》早一个半世纪,所以,人们很容易想当然认为它是《九章》的一个来源。如彭浩就说《算数书》“对另一部数学巨著《九章算术》的产生有着直接的影响”[2]。但实际情况不是这么简单。

《九章》粟米章的开头的“粟米之法”,列出一张各种粮食换算比例的清单:

粟米之法:

     粟率五十         粝米三十

      米二十七       糳米二十四

     御米二十一       小十三半

     大五十四       粝饭七十五

     粺饭五十四       糳饭四十八

     御饭四十二       菽、荅、麻、麦各四十五

     稻六十           豉六十三

     飱九十           熟菽一百三  

        糵一百七十  

《算数书》第35“程禾”条也有关于各种粮食的换算规定:

“程曰:禾黍一石为粟十六斗泰(大)半斗,舂之为粝米一石,粝米一石为糳米九斗,糳米[] [③] 斗为毁(毇)米八斗。  王程曰:稻禾一石为粟廿斗,舂之为米十斗,为毁(毇)粲米六斗泰(大)半斗。麦十斗三斗。程曰:麦、菽、荅、麻十五斗一石,稟毁(毇)(糳)者,以十斗为一石”

“程”字是标准、规定意思。这段文字让人联想到云梦睡虎地秦墓(墓主死于公元前217年)出土的《秦律十八种·仓律》(可能成于秦始皇元年即公元前246年以前):

[粟一]石六斗大  斗,舂之为粝米一石;粝米一石为糳米九斗;九斗为毇米八斗。稻禾一石,为粟廿斗,舂为米十斗;十斗粲,毇米六斗大半斗。麦十斗,为三斗。菽、荅、麻十五斗为一石。稟毇粺者,以十斗为石”[4]

彭浩先生认为两段文字几乎是完全相同的,《算数书》引用了秦代法律[2]。据《九章》“粟米之法”,粟、粝米、粺米、糳米之比50302724,按秦律则粟、粝米、糳米、毇米之比为16 109850302724。《九章》以糳米之率为8,而秦律规定则为9,《九章》把比率弄错了。不过,《九章》是一部首尾一贯,精心编纂的书,除圆周率用3,宛田面积公式、球体积公式、用双设法处理非线性问题等极少量不准确或差误外,很少有错误;全书用到糳米的问题都按这个错误比例进行计算,可见《九章》编者张苍、耿寿昌等的认真与严谨 [④] 。他们如果注意过《算数书  ,以他们的学识就自然会根据此书所引秦律修改错误数据或用正确的数据设置问题。因此,惟一合理的解释是张苍、耿寿昌等在编辑《九章》时没有读过《算数书》,而未加深察地将错就错采用了以前已经弄错的数据。

《算数书》和《九章》有少量相同的内容,这容易让人觉得《算数书》是今本《九章》的一个来源。但是两者有相同部分的原因可以是多种多样的:一是《算数书》在前,《九章》采用了《算数书》的材料;二是《九章》在前,《算数书》采用了《九章》的材料;三是两者的一部分有共同的来源。今本《九章》成书于汉代是公认的,第二种可能性是不存在的;第一种已如前述难以成立。因此,只能是二者有共同的来源,两个本子没有直接的袭用关系。其实,对照二者的相同部分,不难发现这种相同只是相对的,其相异处也不少。

表2  《算数书》与《九章算术》有相同内容的部分之比较表

项目

《算数书》

《九章算术》

关于异同和关系的说明

分乘分术皆曰:母相乘为法,子相乘为实。(第2“分乘”条)

……乘分之术曰:母乘母为法,子相乘为实。(第1“相乘”条)

    乘分术曰:母相乘为法,子相乘为实,实如法而一。(方田章)

    二种文献名称稍异,《算数书》少“实如法而一”一句,不如《九章》完整。

分数除法

    径分以一人命其实,故曰:五人分三有(又)半、少半,各受卅分之廿三。其术曰:下有少半,以一为六,以半为三 [⑤] ,以少半为二,并之为廿三,即值(置)一数,因而六之以命其实。有(又)曰,术曰:下有半,因而倍之;下有三分,因而三之;下有四分,因而四之。(第9“径分”条)

    今有七人,分八钱三分钱之一。问人得几何?荅曰:人得一钱二十一分钱之四

又有三人三分人之一,……荅曰:人得二钱八分钱之一。

经分术曰:以人数为法,钱数为实,实如法而一。有分者通之,重有分者同而通之。(方田章

  “径分”即“经分”。《九章》给出一个普适性方法;《算数书》的方法则只针对特殊情况。两种文献的题目也不同。这倒不意味着《算数书》的作者不知道一般的经分术,他像是在举例说明分数除法应如何“通之”。

分数加法

    合分术曰:母相类,子相从;母不相类,可倍、倍,可三、三,可四、四,可五、五,可六、六,七亦辄倍、倍,及三、四、五之如母,母相类者,子相从。其不相类者,母相乘为法,子互乘母并以为实,如法成一。……有(又)曰:母乘母为法,子羡乘母为实,实如法而一。其一曰:可十、十,可九、九,可八、八,可七、七,可六、六,可五、五,可四、四,可三、三,可倍、倍,母相类止。母相类,子相从。(第8“合分”条)

    合分术曰:母互乘子,并以为实。母相乘为法,实如法而一。不满法者,以法命之。其母同者,直相从之(方田章)

    两种文献都提供了一般性的方法,但《算数书》多了一些针对常见情况的具体操作说明,且多次引用合分术中的字句。说明《算数书》是在用已有方法进行计算。

约分

    约分术曰:以子除母,母亦除子,子母数交等者,即约之矣。有(又)曰,约分术曰:可半、半之,可令若干一、若干一。·其一术曰:以分子除母,少(小)以母除子,子母等以为法,子母各如法而成一。不足除者可半,半母亦半子。(第7“约分”条)

    约分术曰:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。(方田章)

  《算数书》提出3种约分的方法。其中第3种与《九章》相同,但表述不一样。第2种只针对分子和分母都为偶数的情况。第1和第3种都是带有普适性的方法,后者“其一术曰”云云,可能是来自和《九章》来源相近的材料。

女织问题

    邻里有女恶自喜也,织曰:自再五日织五尺。问始织日及其次各几何。曰:始织一寸六十二分寸卅八,次三寸六十二分寸十四,次六寸六十二分寸廿八,次尺二寸六十二分寸五十六,次二 [⑥] 尺五寸六十二分寸五十。术曰:直(置)二、直(置)四、直(置)八、直(置)十六、直(置)卅二,并以为法,以五尺偏(遍)乘之各自为实,实如法得尺。不盈尺者十之,如法一寸。不盈寸者,以法命分。(第14“女织”条)

    今有女子善织,日自倍,五日织五尺。问日织几何?荅曰:初日织一寸三十一分寸之十九;  次日织三寸三十一分寸之七;次日织六寸三十一分寸之十四;次日织一尺二寸三十一分寸之二十八;次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。术曰:置一、二、四、八、十六为列衰,副并为法。以五尺乘未并者,各自为实,实如法得一尺。(衰分章  

   两个问题的题设数值相同,但《算数书》的答案和术文中的列衰不约分而《九章》则约分,前者的列衰分别为后者列衰之2倍。《孙子算经》卷中第27问亦此题,答案亦约分,术中实际亦用了与《九章》相同的列衰。

少广术与少广问题

    救(求)少广之术曰:先直(置)广,即曰:下有若干步,以一为若干,以半为若干,以三分为若干,积分以尽所救(求)分同之以为法,即耤(藉)直(置)田二百四十步亦以一为若干,以为积步,除积步如法得从一步。不盈步者,以法命其分。有(又)曰:复之,即以广乘从(纵),令复为二百四十步田一亩。其从(纵)有不分者,直(置)如法矰(增)不分,复乘之以为小十;有分步者,以广乘分子,如广步数,得一步。

    少广:广一步半步,以一为二,半为一,同之三以为法,即值(置)二百四十步,亦以一为二除,如法得从(纵)一步,为从(纵)百六十步。因以一步、半步乘。下有三分,以一为六,半为三,三分为二,同之十一得从(纵)百卅步有(又)十一分步之十,乘之田一亩。下有四分,以一为十二,半为六,三分为四,四分为三,同之廿五得从(纵)百一十五步有(又)廿五分步之五,乘之田一亩。下有五分,以一为六十,半为卅,三分为廿,四分为十五,五分为十二,同之百卅七。得从(纵)百五步有(又)百卅七分步之十五,乘之田一亩。下有六分,以一为六十,半为卅,三分为廿,四分为十五,五分为十二,六分为十,同之百四十七得从(纵)九十七步有(又)百四十七分。下有七分,以一为四百廿,半为二百一十,三分为百四十,四分为百五,五分为八十四,六分为七十,七分为六十,同之千八十九。得从(纵)九十二步五百四十一乘之田一亩。下有八分,以一为八百四十,半为四百廿,三分为二百八十,四分为二百一十,五分为百六十八,六分为百四十,七分为百廿,八分为百五,同之于二千二百八 [⑦] 十三以为法,得从(纵)八十八步有(又)二千二百八十三分步之六百九十六,乘之田一亩。下有九分,以一为二千五百廿,半为千二百六十,三分为八百 [⑧] ,四分为六百卅,五分为五  四,六分为四百廿,七分为三百六十,八分为三百一十五,九分为二百八十,同之七千一百廿九以为法,得从(纵)八十四步有(又)七千一百廿九分步之五千七百六十四,乘之成田一亩。下有十分,以一为二千五百廿,半为千二百六十,三分为八百四十,四分为六百卅,五分为五百四,六分为四百廿,七分为三百六十,八分为三百一十五,九分为二百八十,十分为二百五十二,同之七千三百八十一以为法,得从(纵)八十一步有(又)七千三百八十一分步之六千九百三十九 [⑨] ,乘之成田一亩。步有千八十九分步之六百一十二,乘之田一亩。

    少广术曰:置全步及分母、子,以最下分母遍乘诸分子及全步,各以其母除其子,置之于左。命通分者,又以分母遍乘诸分子及已通者。皆通而同之。并之为法。置所求步数,以全步积分乘之为实。实如法而一,得从步。

    1今有田广一步半。求田一亩,问从几何?荅曰:一百六十步。……

    2今有田广一步半、三分步之一。求田一亩,问从几何?荅曰:一百三十步一十一分步之一十。……

    3今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩,问从几何?荅曰:……

    4今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩,问从几  ?荅曰……

    5今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩,问从几何?荅曰:九十七步四十九分步之四十七。术曰:下有六分,以一为一百二十,半为六十,三分之一为四十,四分之一为三十,五分之一为二十四,六分之一为二十,并之得二百九十四,以为法。置田二百四十步,亦以一为一百二十乘之,为实。实如法得从步。

    6今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩,问从几何?荅曰:……

    7今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩,问从几何?荅曰:……

    8今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩,问从几何?荅曰:……

    9今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩,问从几何?荅曰:八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。术曰:下有一十分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一为八百四十,四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七分之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,十分之一为二百五十二,并之得七千三百八十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二千五百二十乘之,为实。实如法得从步。 [⑩] (少广章)

   两种文献对少广术的表述显然不同。《九章》是一般化的程序,理论上完备,《算数书》的“求少广之术”对如何从“下有若干步”来确定“以一为若干,以半为若干,以三为若干…”没有交代,而这正是《九章》少广术所能解决的。

    《算数书》“少广:广一步半步”以下相当于《九章》少广章的第19题。但是,两种文献的表达明显不一样,不仅文字上有差异,而且前者是一个整体,不象后者那样有题设、答案和术文的分别,而是直接描述计算的过程。另外,《九章》的第5问的术文说“下有六分,以一为一百二十,半为六十,三分之一为四十,四分之一为三十,五分之一为二十四,六分之一为二十”并没有用前面的少广术得出更简化的数值“以一为六十,…”,倒是《算数书》用到这些更简化的数值“下有六分,以一为六十,半为卅,三分为廿,四分为十五,五分为十二,六分为十”。因此《算数书》时代是应该有《九章》少广术存在的。

大广术

    大广术曰:直(置)广从(纵)而各以其分母乘其上全步,令分子从之,令相乘也为实,有(又)各令分母相乘为法,如法得一步,不盈步以法命之

    大广田术曰:分母各乘其全,分子从之,相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。(方田章

  《九章》的表达更加简洁,《算数书》表达接近口语些,象是要便利读者。

里田术

    里田术曰:里乘里,里也,广、从(纵)各一里,即直(置)一因而三之,有(又)三五之 [11] ,即为田三顷七十五亩。其广从(纵)不等者,先以里相乘,已,乃因而三之,有(又)三五之,乃成。

    里田术曰:广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之,即亩数。(方田章

    两种文献的区别很明显。《九章》是求出田的平方里数后,直接以370乘换算为亩数,而《算数书》则描述换算的过程。

息钱算法

    贷钱百,息月三。今贷六十钱,月末盈十六日归,计息几何?得曰:廿五分钱廿四。术曰:计百钱一月,积钱数以为法,直(值)贷钱以一月百钱息乘之,有(又)以日数乘之为实,实如法得一钱。(第25“息钱”条)

今有贷人千钱,月息三十。今有贷人七百五十钱,九日归之,问息几何?荅曰:六钱四分钱之三。术曰:以月三十日乘千钱为法。以息三十乘今所贷钱数,又以九日乘之,为实。实如法得一钱。(衰分章)

月息率虽然相同,但题设不同,术文的表述也不同。《算数书》的术文接近一般性方法,《九章》的术文较具体些。

圆锥体积

旋粟……其述(术)曰:下周自乘,以高乘之,卅六成一。(第57“旋粟”条)

    囷盖……乘之之述(术)曰:直(置)如其周令相乘也,有(又)以高乘之,卅六成一。(第58“囷盖”条)

    (圆锥)术曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。

    委粟术曰:下周自乘,以高乘之,三十六而一。(商功章)

    两种文献都以圆周率为3,表达稍异,但题设不同,名称各异。

圆台体积

圜亭……术曰:下周乘上周,周自乘,皆并,以高乘之,卅六成一 [12] 。(第59“睘亭”条)

    圆亭……术曰:上、下周相乘,又各自乘,并之,以高乘之,三十六而一。(商功章

    两种文献都以圆周率为3,表述稍异,但题设不同。

圆柱体积

圜材井窌若它物……术曰:耤(藉)周自乘,以深乘之,十二成一。一曰以[] [13] 乘径,四成一。(第60“井材”条)

    今有圆堢……术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一。(商功章)

    名称不同,《算数书》多1种方法,第1种与《九章》相同而表达稍异。

四棱台体积

刍童及方阙……术曰:上广袤、下广袤各互 [14] 乘,又上袤从下袤以乘上广,下袤从上袤以乘下广,皆并,[] [15] 乘之,六成一。

    刍童、曲池、盘池、冥谷,皆同术。倍上袤,下袤从之,亦倍下袤,上袤从之,各以其广乘之。并,以高若深乘之,皆六而一。(商功章

    名称有同有异。方法等价但不同。设上广、袤分别为a1b1,下广、袤分别为a2b2,高为h。那么《算数书》的公式相当于[a1 b1+ a2 b2+b2+ b1a1+( b1+ b2) a2]×h÷6;《九章》的公式则为[( 2b1+ b2) a1+2b2+ b1a2] ×h÷6

刍甍与郓都体积

    郓都下厚四尺,上厚二尺,高五尺,袤二丈,责(积)百卅三尺少半尺。术曰:倍上厚,以下厚增之,以高及袤乘之,六成一。(第55“郓都”条)

    今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈。问积几何?

荅曰:五千尺。术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一。(商功章  

   《算数书》的郓都从音读上看应为《九章》的壍堵 [16] ,但从形状上看与壍堵相去甚远,而与刍甍同形,两者公式相同但表述不同,术语也有异。

盈不足术

     赢(盈)不足互乘母为实,子相从为法。皆赢(盈)若不足,子互乘母而各异直(置)之,以子少者除子多者,余为法,以不足为实。(第51“分钱”条)

    并赢(盈)、不足以为法,不足子乘赢(盈)母,赢(盈)子乘不足母,并以为实,复之,如启广之术。(第53“方田”条)

盈不足术曰:置所出率,盈、不足各居其下。令维乘所出率,并,以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者,通之。盈不足相与同。其买物者,置所出率,以少减多。余,以约法、实。实为物价,法为人数。

两盈、两不足术曰:置所出率,盈、不足各居其下。令维乘所出率,以少减多,余为实。两盈、两不足以少减多,余为法。实如法而一。有分者,通之。两盈、两不足相与同。其买物者,置所出率,以少减多,余,以约法、实。实为物价,法为人数。(盈不足章  

    《九章》给出了一盈一不足、两盈和两不足三种情形的完整术文,可据以直接计算。《算数书》第51条“赢不足互乘母为实,子相从为法”、第53条“并赢……为实”对应《九章》的盈不足术,但缺后面的环节,显然是作者已知盈不足术而简省了步骤。第51条“皆赢若不足,……为实”也是对应两盈、两不足术的简省,虽然文字的传写可能有误,但可以断定作者已知两盈两不足术。

上表列出了《算数书》和《九章》在方法和文本方面有相同处(不是很严格的“相同”)的内容,放宽点还有一些。如《算数书》第16“负米”条和《九章·均输》第27问,都是带米过三关抽税问题,但前者三关的税都是1/3,后者则外、中、内关的税率分别为1/31/51/7,要麻烦一点。总的说来,上面关于两种文献中有相同处的内容之异同的对照和讨论,也同样不支持《九章》直接受到《算数书》影响的假设。相反,《算数书》中所用的方法明显不是原始的产生形态,它们不是在根据一些例子总结或归纳出普适性的方法;其中一些简省的表述说明《算数书》是在罗列一些已有的方法、算题或利用已有的方法解决应用问题;换句话说,《算数书》中这些部分的方法是早已有之的,它们中间的一部分在《九章》中的形态更显原生态的性质。

《算数书》多数部分与《九章》不同,这些其实也是用已有的数学方法来解决的,其中主要用到正反比例、比例分配以及连比例等,而这些方法均见于《九章》。《算数书》中有不少标准,如石率、漆饮水、程竹等,都是根据这些标准再用既有方法(如今有术)解决相应的实际问题。《算数书》中有的问题可以直接用(甚至是套用)《九章》的某方法来解决。如第11“共买材”条、12“狐出关”条、13“狐皮”条,都可以直接用《九章》的衰分术求解。甚至《算数书》中还有问题如果抽象化为符号,与《九章》的某问题相同。如第12“狐出关”条“狐、狸、犬出关,租百一十一钱。犬谓狸、狸谓狐:而(尔)皮倍我,出租当倍(哉)。问出各几何。”和《九章》衰分章第2问:“今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰:‘我羊食半马。’马主曰:‘我马食半牛。’今欲衰偿之,问各出几何?”都是以124为列衰,用衰分术解决问题,虽然两个题目明显不一样。又如第15“并租”条“禾三步一斗,麦四步一斗,荅五步一斗,今并之租一石,问租几何。得曰:禾租四斗四十七分十二,麦租三斗分九,荅租二斗分二十六。术曰:直(置)禾三步、[]四步、荅五步,令禾乘麦为荅实,荅乘禾为麦实,[麦乘荅为禾实],各[]直(置)之以一石各乘之,[各自以]为实,四十七为法而一斗” [17] 用到《九章》的返衰术。《算数书》有些题目与《九章》均输章的非均输类问题相似,如第46“负炭”条“负炭山中,日为成炭七斗到车,次一日而负炭道车到官一石。今欲道官往之,负炭中,负炭远到官,问日到炭几何。”其数学意义和《九章》均输章第22问“今有一人一日为牝瓦三十八枚,一人一日为牡瓦七十六枚。今令一人一日作瓦,牝、牡相半,问成瓦几何?”相似,前者的前提是负炭至车数和运炭到官数相等,后者的前提是两种瓦数相等。《算数书》的第47“卢唐”条、第48“羽矢”条也都有类似的情形,后者与《九章》均输章第23问都是关于制箭的工序,只是《九章》的问题多一道程序。第4649条按《九章》的分类,都可以归入均输章。看来,《九章》中非均输本术类问题在先秦也是有的。

可以说,《算数书》中不论与《九章》有相同内容的部分,还是与《九章》差异较大的部分,都可以通过变通《九章》的方法或直接利用《九章》的典型方法来解决。鉴于前面所论汉《九章》的编者未见过《算数书》、《算数书》的这些内容不见于《九章》以及《算数书》是撮编之作等原因,我们认为不但汉《九章》的编者没有读过《算数书》,而且《算数书》一些部分的作者们是在学习了某种后来演变为汉《九章》来源的先秦数学著作或其衍生本后才写成《算数书》的相应部分的。

刘徽《九章算术注序》说“周公制礼而有九数,九数之流,则九章是矣。往者暴秦焚书,经术散坏。自时厥后,汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残,各称删补。故校其目则与古或异,而所论者多近语也”。从上下文看,刘徽是认为西周周公制礼时有“九数”,“九数”在先秦已发展成为《九章算术》,这本《九章》经过秦火而散失,汉代张苍、耿寿昌在收集先秦《九章》残简的基础上删补而成流传后世的《九章算术》。结合上面对《算数书》和《九章》关系的分析,刘徽的话是有根据的。笔者曾有详细的分析,从原始积累、数学的原理基础以及社会条件与需要等方面证明战国时代应产生过今传本《九章》的绝大部分数学方法 [18] ,尤其是根据湖北云梦睡虎地出土的秦律证明先秦必然用到了汉《九章》所达到的那种高水平的数学知识 [19] ,因此,笔者相信,即使先秦没有一本书称为《九章算术》,也会有一本数学著作为汉《九章》的主要来源。它是一本经典著作,其最古的渊源可能会追溯到西周的贵族弟子所学的“九数”,《周髀算经》卷上陈子答荣方问时说的“此皆算术之所及”[6]的“算术”亦可能与它有关,《算数书》则是学习这本书或其衍生作品后将其内容和方法应用到经济和社会生活中的作品。汉代以后,《算数书》失传而《九章》幸存,这也许应看成历史考验对经典和非经典著作汰选的结果。

3、《算数书》对确立先秦到汉代算法式数学发展历史的意义

中国古代数学在春秋战国时代有算法式数学和理论化数学两种倾向,汉代以后,前者成为中国数学的主流。以前,由于汉代编成的《九章算术》是这种主流数学的最早著作,人们习惯于说到汉代时中国数学有了什么成就和思想,而对先秦迄汉代数学发展的演变往往语焉不详。钱宝琮先生以秦统一中国为界给中国数学史分期,一方面说“虽然没有一本先秦的数学书流传到后世,但不容怀疑的是:《九章算术》方田、粟米、衰分、少广、商功等章的内容,绝大部分是产生于秦以前的”,一方面又把秦统一以前作为中国数学的萌芽阶段[7],这就有些不协调。郭书春先生据《九章》的结构把其中术文统率应用问题的部分大体上归为先秦,余者视为汉人所补[5,8],这是一个可操作的区分秦及秦以前与汉代数学的方案。由于论据还欠丰满,郭先生和笔者曾把战国至西汉作为中国古代数学框架的形成阶段[9],没有刻意对秦统一前后的情况做区分。近年来笔者在前贤的基础上比较系统地利用传世文献和出土材料,从其中用到的数学知识特别是从社会背景、需要和要求方面论证了《九章》各章的绝大部分数学方法在先秦已经出现,中国数学在春秋战国时出现第一个高潮,汉代是对先秦数学进行筛选和整合的时代这一观点 [20] 。笔者对此虽非常自信,但由于没有大量具体的数学材料作依据,在论点和论据之间总嫌有一层隔膜。

《算数书》释文的发表,正好可以打破这层隔膜。它的年代处在先秦与秦汉的转折点上,为我们切实建立实用的算法式数学在战国至秦汉之演变历史提供了基础。如前所述,《算数书》是一本撮编之书,它是在利用已有的数学方法解决问题,所以《九章》中的这些方法出于先秦自然没有问题。《算数书》基本上没有用到《九章》的方程和勾股两章的方法,《九章》的其他章也有些方法在《算数书》中没有用到,如方田章的方田术、圭田术、邪田术、箕田术、圆田术、环田术、弧田术、宛田术,粟米章的其率术与反其率术,少广章的开方术、开圆术和开立方术、开立圆术,商功章的方堢术、方锥术、方亭术、壍堵术、阳马术与鳖腝术,均输章的均输本术等。但从侧面看,这些方法的绝大部分也应在先秦用到。如《算数书》第55-60条,用到刍甍、刍童、圆锥、圆台、圆柱的体积公式,第64-68条用长方形面积公式及其逆运算,据此推断当时已有《九章》的方田术、圭田术、邪田术、箕田术、圆田术、环田术、方堢术、方锥术、方亭术、壍堵术、阳马术就不成问题。又如《算数书》第29“医”条说“程曰:医治病者得六十筭(算)□□廿筭(算)□□程□弗……得六十而负几何?曰:负十七筭(算)二百六十九分筭(算)十一。其术曰:以今得筭(算)为法,令六十乘负筭(算)为实。”由于文字残损,其具体涵义还有待进一步研究,但其中用到正负数乘除法则不成问题。对照董仲舒《春秋繁露·考功名》:“考试之法,……九分三三列之,亦有上中下。以一为最,五为中,九为殿,有余归之于中,中而上者有得,中而下者有负,得少者,以一益之,至于四,负多者,以四减之,至于一,皆逆行。三四十二,而成于计,得满计者绌陟之。次次每计,各逐其弟,以通来数。初次再计,次次四计,各不失故弟,而亦满计绌陟之”[10]看,得“若干算”和“负若干算”应是一种考课记分。在《九章》中负数只见于方程章,可能是在方程消元时两行相减不足减时引进的,那么我们说《算数书》的“医”条把先秦数学中已有的负数概念用于对医生治病效果的考核,是合乎情理的,方程章的部分内容在先秦也可能是存在的。《算数书》没有均输本术问题,大概由于它是秦人编集的作品,而秦律禁止委输[11]的缘故。胡平生先生据阜阳双古堆残简《算术书》(抄成下限为公元前165年)有《九章》均输章第一题的残简,说明均输问题是古已有之的[12];这与笔者从传世文献说明先秦要用到均输本术的数学方法 [21] 相一致。

尽管《九章》中有一些数学方法不能从《算数书》直接证明其在先秦已经存在,但《算数书》已经证明:从社会背景和需要来论证先秦时代可能存在相应的数学方法,是可信的。考虑到《算数书》只是一部不完备的撮编之书,它较为直接地服务于下层官吏进行管理的需要,同时作为秦人编的作品,它也必定受到一些局限,所以此书缺乏一些内容特别是一些较为深入的内容是不足为怪的。笔者对前述关于先秦至秦汉实用算法式数学发展演变的观点非常自信。

综之,《算数书》是秦统一前后一本适应下层官吏管理需要的不大成系统的撮编之书,它至少有两个来源,它主要是把已有的数学方法、社会经济标准用到实际中的产物,也收录了少量与实际存在差距的问题。《算数书》与《九章算术》之间没有直接的文本影响关系,它们有共同的源泉。《九章》有一部分内容比《算数书》更显原生态的性质,其绝大部分产生于先秦,甚至在先秦可能存在一种与《九章》规模差不多后来演变为《九章》主要来源的书,这本书或其衍生本为《算数书》的作者们所学习和引用。《算数书》与传世文献和其他出土材料结合,有助于确立先秦至秦汉算法式数学发展演变的历史。

    致谢  本文的写作曾得到郭书春、陈美东两位先生的帮助。谨致谢忱。

参  考  文  献

1 江陵张家山汉简整理小组.江陵张家山汉简《算数书》释文.文物,2000,(9):78~84

2 彭浩.中国最早的数学著作《算数书》.文物,2000,(9):85~90

3 郭书春译注.九章算术.沈阳:辽宁教育出版社,1998

4 睡虎地秦墓竹简整理小组.睡虎地秦墓竹简.北京:文物出版社,1978.44~45

5郭书春.古代世界数学泰斗刘徽.济南:山东科学技术出版社,1992.94~105

6钱宝琮校点.算经十书.北京:中华书局,1963.24

7钱宝琮主编.中国数学史.北京:科学出版社,1981.1,14

8郭书春.张苍与《九章算术》.刘钝、韩琦等.科史薪传——庆祝杜石然先生从事科学史研究40周年学术论文集.沈阳:辽宁教育出版社,1997.112~121

9郭书春、田淼、邹大海.成就卓著的中国数学.沈阳:辽宁古籍出版社,1995.14~59

10苏舆.春秋繁露义证.北京:中华书局,1992.180~182

11睡虎地秦墓竹简整理小组.睡虎地秦墓竹简.北京:文物出版社,1978.123

12胡平生.阜阳双古堆汉简数术书简论.中国文物研究所.出土文献研究.第四辑.北京:中华书局,1998.12~30


An Elementary Research on the

 Unearthed Mathematics Book Suanshu Shu

ZOU Dahai

( Institute for the History of  Science, CAS, Beijing100010, China)

Abstract  The Transcription of bamboo Suanshu Shu (an unearthed bamboo book of mathematics) published latest gives a new chance to study the history of Chinese mathematics in ancient times. By analyzing the style and structure of the Suanshu Shu, comparing the Suanshu Shu and the Nine Chapters on Mathematical Procedures, and combining other literatures and social backgrounds to investigate, the author concludes: the Suanshu Shu is a combined book with at least two origins; there are no direct influences between the texts of the Suanshu  Shu and the Nine Chapters on Mathematical Procedures, which have the same origins in Pre-Qin Period; the main mathematical methods in the Nine Chapters on Mathematical Procedures had occurred in Pre-Qin Period; serving to the lower government administration, all the parts of the Suanshu Shu were written in the light of the methods of a certain mathematics bookor its ramification in Pre-Qin Period which is the primary origin of the Nine Chapters on Mathematical Procedures. The Suanshu Shu is significant to the establishment of the evolution of  the practical algorithm mathematics from the Warring States to the Han Dynasty.

    Key words  Suanshu Shu, Nine Chapters on Mathematical Procedures, mathematics from Pre-Qin Period to Han Dynasty



  收稿日期2000-11-20修回日期2001-3-23

  作者简介:邹大海,男,1965年生,湖南新化人,中国科学院自然科学史研究所副研究员。

  本文得到国家自然科学基金项目“中国数学史综合研究”(项目批准号:19971086)的支持。

* 本文的主要观点和论据曾于200010月在河北省涞水县举行的“纪念祖冲之逝世1500周年学术讨论会”上宣读。

[①] 本文中凡引用《算数书》都据文献[1],为避免繁琐,不再一一出注。笔者引用时有校正者,另行注明。

[②] 本文中凡引用《九章算术》都据文献[3],为避免繁琐,不再一一出注。

[③] 原释文缺“九”,据睡虎地秦简补。彭浩已校,见[2]

[④] 笔者赞同刘徽关于《九章》为张苍、耿寿昌所编的观点。刘徽说法的可信度,见文献[5]的论述。

[⑤] “三”原文作“一”,依算理校正。

[⑥] “二”,原文误作“一”,今以算理校正。

[⑦] “二千二百八”,原作“二百□”,今以算理校正。

[⑧] “”,原作“卅十”,今据算理校正。

[⑨] “九百三十九”,原作“八百□□□”,今以算理校正。

[⑩] 各编号为引者所加。

[11] “三五之”是三次用五乘之的意思,具有指数的意味。下同。

[12] “一”字原脱,今以意补。

[13] “周”字原释文作缺损字符“□”,今以意补。

[14] “互”,原文作“自”,今以意改。

[15] 原释文缺“高”字,今以意补。

[16] 彭浩先生已经说过“‘郓都’疑读作‘壍堵’”([2])

[17] “麦四步”的“麦”字释文作“吏”,“麦乘荅为禾实”为释文所无,“副”字及“各自以”释文为缺文符号,今以意校正。

[18] 详拙著《中国数学的兴起与先秦数学》(将由河北科学技术出版社出版)

[19] 拙文《睡虎地秦简与先秦数学》,20008月北京“中国科学技术史学会第六届代表大会”论文。

[20] 详拙著《中国数学的兴起与先秦数学》

[21] 详拙著《中国数学的兴起与先秦数学》


 



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