《筭数书》与《算经十书》比较研究*

郭书春

(中国科学院 自然科学史研究所,北京 100010)

 

    文章从体例、术文的抽象性与演算细草、数学表达方式、数学内容四个方面对《数书》与《算经十书》中可与之对比的《九章算术》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》等算经进行了比较研究。《九章算术》等著作有术文统率例题、应用问题集、将预备知识列于卷首三种体例。《数书》具有这三种形式。《九章算术》既有基本运算法则和适应于一类数学问题的相当抽象的术文,也有应用于一种数学问题的比较抽象的术文,还有针对某一问题的演算细草。《张丘建算经》则基本上是应用于一种数学问题的抽象术文。《孙子算经》和《五曹算经》则完全是针对某一数学问题的演算细草。《数书》的术文的抽象程度也具有这三个层次。《数书》的数学表达方式多种多样,不统一,不如《九章算术》等著作规范。就数学内容而言,《数书》有许多首创的贡献,它与《九章算术》相比,有一些方法相同,也有少数题目相同,但相当多的方法、大部分题目不同,也不如《九章算术》的内容那么全面、规范;它也稍逊于《张丘建算经》,而与《孙子算经》不分轩轾,却远远超过《五曹算经》。可见,(1)《数书》反映了先秦数学的真实状况,说明中国传统数学著作的体例、数学的主要内容和方法在先秦已经确立了;(2)它为中国传统数学发展的第一个高潮发生在战国,西汉张苍等整理《九章算术》只是这个高潮的总结的论断提供了佐证;(3)《数书》为刘徽关于《九章算术》的编纂过程的论述提供新的佐证,但是数书》不是《九章算术》的前身;(4)《数书》的数学表达方式多种多样,说明《九章算术》规范了中国传统数学的表达方式;(5)考虑到《数书》比《孙子算经》等三部著作要早出七八百年以上,就创新程度与内容宽泛、深刻而言与《算经十书》现存诸算经相比,《数书》的重要性仅次于《九章算术》。  

关键词  数书  算经十书  比较研究

文献标识码  A        文章编号  1000-0224(2004)02-

 

学术界普遍认为,《筭数书》[1]中“大部分算题的形成年代至迟不会晚过秦代,有的甚至更早” [2],是秦与先秦的作品,产生于《算经十书》诸算经成书之前,是综合当时数学各个分支的著作。唐代立于学官的十部算经中,《周髀算经》是一部数理天文学著作,《五经算术》是注解儒家经典中数学内容的著作,《海岛算经》、《缉古算经》分别是关于重差测望与体积、勾股的专题性著作,《缀术》、《夏侯阳算经》已经失传[3],它们均无法与《筭数书》进行比较。那么,《算数书》与《算经十书》中现存的《九章算术》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》等综合性著作比较起来,情况又是怎样呢?本文试图探讨这个问题。

 

1        体例

 

我们知道,《九章算术》等算经的体例是有区别的。大体可以分为三种:

1)术文统率例题的形式。这是《九章算术》的主要内容所采取的形式。这里又有不同的情形[4]

(一)给出一个或几个例题,然后给出一条或几条抽象性术文,而例题中只有题目、答案,没有具体演算的术文。以《九章算术》方田章合分术及其例题为例:

“今有三分之一,五分之二。问:合之得几何?

        曰:十五分之十一。

又有三分之二,七分之四,九分之五。问:合之得几何?

        曰:得一、六十三分之五十。

又有二分之一,三分之二,四分之三,五分之四。问:合之得几何?

        曰:得二、六十分之四十三。

合分术曰:母互乘子,并以为实。母相乘为法。实如法而一。不满法者,以法命之。其母同者,直相从之。”[5], 183184页)

(二)先给出抽象的术文,再列出几个例题;而例题只有题目、答案,亦没有演算术文。以《九章算术》商功章刍童术及其例题为例:

        “刍童、曲池、盘池、冥谷皆同术。

       术曰:倍上袤,下袤从之;亦倍下袤,上袤从之;各以其广乘之。并,以高

若深乘之,皆六而一。

今有刍童,下广二丈,袤三丈;上广三丈,袤四丈;高三丈。问:积几何?

        曰:二万六千五百尺。

今有曲池……”[5], 289292页)

以下还有关于盘池、冥谷的例题。

(三)先给出抽象性的总术,再给出若干例题;而例题包含了题目、答案、术文三项。其中的术文是总术的应用。以《九章算术》粟米章今有术及31个粟米互换题目为例:

    今有术曰:以所有数乘所求率为实,以所有率为法。实如法而一。

    今有粟一斗,欲为粝米。问得几何?

            曰:为粝米六升。

        术曰:以粟求粝米,三之,五而一。

    今有粟二斗一升,欲为米。问得几何?

            曰:米一斗一升五十分升之十七。

        术曰:以粟求白米,二十七之,五十而一。

    今有粟四斗五升,欲为米。问得几何?

            曰:为米二斗一升五分升之三。

       术曰:以粟求米,十二之,二十五而一。

    今有粟七斗九升,欲为御米。问得几何?

            曰:为御米三斗三升五十分升之九。

        术曰:以粟求御米,二十一之,五十而一。[5], 214215页)

下面还有27个同样类型的例题,不赘。

这三种情形覆盖了《九章算术》中方田、粟米、少广、商功、盈不足、方程等六章的全部,衰分、均输章的衰分、均输问题,以及勾股章的勾股术、勾股容方、容圆、测邑诸问题,约占全书的80%[6], 8790页; [7]8588 页)。尽管其间的表达方式有差异,却有三个共同特点:首先,在这里术文是中心,是主体,题目是作为例题出现的,是依附于术文的,而不是相反;其次,在这里,作为中心的术文非常抽象、严谨,具有普适性,换成现代符号就是公式或运算程序;第三,这些术文具有构造性、机械化的特点。因此,我们将之称为术文统率例题的形式。

2)应用问题集的形式。《九章算术》中衰分、均输两章的非衰分、均输题目,勾股章的解勾股形题目及“因木望山”等4个题目,以及《孙子算经》的卷中、下,《张丘建算经》、《五曹算经》的全部,都是采取这种形式。以《孙子算经》卷中的粟米互换题目为例:

        今有粟一斗,问为粝米几何?

                曰:六升。

            术曰:置粟一斗,十升。以粝米率三十乘之,得三百升,为实。以粟率五十为法,除之,即得。

        今有粟二斗一升,问为米几何?

                曰:一斗一升五十分升之一十七。

            术曰:置粟二十一升,以米率二十七乘之,得五百六十七升,为实。以粟率五十为法,除之。不尽,以法而命分。

        今有粟四斗五升,问为米几何?

                曰:二斗一升五分升之三。

            术曰:置粟四十五升。以二约米率二十四,得一十二。乘之,得五百四十升,为实。以二约粟率五十,得二十五,为法,除之。不尽,以等数约之而命分。

        今有粟七斗九升,问为御米几何?

                曰:三斗三升一合八勺。

            术曰:置七斗九升。以御米率二十一乘之,得一千六百五十九升,为实。以粟率五十除之,即得。[8], 10页; [9]269页)

又如《张丘建算经》卷下恶粟求粺米问:

   今有恶粟一斛五斗,舂之得粝米七斗。今有恶粟二斗,问:为米几何?

    术曰:置粝米之数,求为米所得之数。以乘今有恶粟为实,以本粟为法。实如法得一。”( [10]34页;[11]331页)

显然,这些内容是以题目为中心的,术文只是所依附的题目的解法甚至演算细草,计算程序是正确的,尽管有的术文,比如《张丘建算经》中的,对某一种问题具有一定的普适性,却不具有《九章算术》大多数术文那样高度的抽象性、广泛的普适性的特点。

3)预备知识置于卷首。《九章算术》粟米章将“粟米之法”即各种粟米的互换比率置于该卷卷首。《孙子算经》将算筹记数法、九九乘法表、筹算乘除法则、度量衡制度、各种物品的比重表、大数进位法、周三经一等常数、粟米互换的基本法则等置于全书的卷首,作为卷上。

综上所述,《九章算术》以第1种体例为主,兼以第2种,个别地方采用第3种;《孙子算经》则是第2种、第3种的合壁,《张丘建算经》、《五曹算经》则只采用第2种,后三者均无第1种体例,即术文统率例题的形式。

《筭数书》的情形怎样呢?《筭数书》的体例相当复杂。大体有以下各种情形[12]

1)术文是关于一类问题的解法,从而非常抽象。这里有三种体例:

(一)术与例题在同一条中,而且例题在前,术文在后,条名为题名,而不是术名。比如“出金”条:

“出金  有金三朱九分朱五。今欲出其七分朱六,问余金几何?曰:余金二朱六十三分朱四。 其术曰:母相乘也为法,子互乘母,各自为实,以出除焉,余即余也。以九分朱乘三朱,与小五相并。 今有金七分朱之三,益之几何而为九分七?曰:益之六十三分朱廿二。 术曰:母相乘为法,子互乘母,各自为实。以少除多,余即益也。”

“出金”是此条中题目的名称,而不是术名。其术有2条,分别对应于《九章算术》的“减分术”与“课分术”。属于这类情形的还有:“相乘”条,术文是关于分数乘法法则的“乘分之术”,其前的分数乘法表是其应用。“分钱”条与“方田”条,各有1道术文,基本相同,都是赢不足术,分别有1道关于分钱与方田的例题。

这种情形大体类似于《九章算术》中术文统率例题的体例的第1种情形。

(二)术文单独立条,条名即是术名,本条没有例题,例题在随后的条目中。比如二“少广条:

“少广  求少广之术曰:先直广,即曰:下有若干步,以一为若干,以半为若干,以三分为若干,积分以尽所求分同之,以为法。即直田二百步,亦以一为若干,以为积步。除积步如法,得从一步。不盈步者,以法命其分。 

少广  广一步、半步。以一为二,半为一,同之三,以为法。即值二百步,亦以一为二。除如法,得从一步,为从百六十步。因以一步、半步乘。  下有三分,以一为六,半为三,三分为二,同之十一。得从百卅步有十一分步之十,乘之田一亩。 下有四分,以一为十二,半为六,三分为四,四分为三,同之廿五。得从百一十五步有廿五分步之五,乘之田一亩。  下有五分,以一为六十,半为卅,三分为廿,四分为十五,五分为十二,同之百卅七。得从百五步有百卅七分步之十五,乘之田一亩。  下有六分,以一为六十,半为卅,三分为廿,四分为十五,五分为十二,六分为十,同之百卌七。得从九十七步有百卌七分步百一,乘之田一亩。  下有七分,以一为四百廿,半为二百一十,三分为百,四分为百五,五分为八十四,六分为七十,七分为六十,同之千八十九。得从九十二步有千八十九分步之六百一十二,乘之田一亩。  下有八分,以一为八百,半为四百廿,三分为二百八十,四分为二百一十,五分为百六十八,六分为百,七分为百廿,八分为百五,同之二千二百八十三,以为法。得从八十八步有二千二百八十三分步之六百九十六,乘之田一亩。  下有九分,以一为二千五百廿,半为千二百六十,三分为八百,四分为六百卅,五分为五百四,六分为四百廿,七分为三百六十,八分为三百一十五,九分为二百八十,同之七千一百廿九,以为法。得从八十四步有七千一百廿九分步之五千九百六十四,乘之成田一亩。  下有十分,以一为二千五百廿,半为千二百六十,三分为八百,四分为六百卅,五分为五百四,六分为四百廿,七分为三百六十,八分为三百一十五,九分为二百八十,十分为二百五十二,同之七千三百八十一,以为法。得从八十一步有七千三百八十一分步之六千九百卅九,乘之成田一亩。”

显然,下一条“少广”的9个题目是上一条“少广”中的“少广术”的应用。属于这类情形的还有:“分乘分术”(“分乘”条),随后的“乘”条中大量分数乘法是其应用。“石lv术”(“石lv”条),随后的“贾盐”条即是其例题。“误券术”(“误券”条),3道术文,随后的“租误券”条即是其应用。“粺毇术”(“粺毇”条),15道术文,无随后应用的条目或例题。“粟求米术”(“粟求米”条),5道术文,随后的“粟求米”、“米求粟”条分别引用其中一道。

(三)总术、例题及分术在同一条中,实际上是上面(二)中二者的合并,不过这里是例题及分术在前,总术在后。如“径分”条:

“径分  径分以一人命其实,故名。 五人分三有半、少半,各受卅分之廿三。其术曰:下有少半,以一为六,以半为三,以少半为二,并之,为廿三。即值人数,因而六之,以命其实。  五人分七钱少半、半钱。人得一钱卅分钱十七。术曰:下三分,以一为六,即因而六人以为法,亦六钱以为实。  有曰,术曰:下有半,因而倍之;下有三分,因而三之;下有四分,因而四之。”

“粟米并”条也属于这种情形。

(四)例题与术在同一条中,条名即是术名。比如“合分”条:

“合分  合分术曰:母相类,子相从;母不相类,可倍、倍,可三、三,可四、四,可五、五,可六、六,七亦辄。倍、倍,及三、四、五之如母。  母相类者,子相从。其不相类者,母相乘为法,子互乘母,并以为实,如法成一。 今有五分二、六分三、十分八、十二分七、三分二,为几何?曰:二钱六十分钱五十七。其术如右方。 有曰:母乘母为法,子羡乘母为实,实如法而一。  其一曰:可十、十,可九、九,可八、八,可七、七,可六、六,可五、五,可四、四,可三、三,可倍、倍,母相类止。母相类,子相从。”

属于术、题在同一条中,并且条名即术名。属于这种情形的还有约分、径分、羡除、郓都、刍童、旋粟、囷盖、圜亭、井材、以圜材方、以方材圜、启从、大广田、里田等条。

这种情形大体类似于《九章算术》术文统率例题的体例的第()|(三)种情形。   

以上四种情形,与《九章算术》一样,可以称为术文统率例题的形式。

2)有些条一条就是解决一个或几个问题。比如“息钱”条:

“息钱  贷钱百,息月三。今贷六十钱,月未盈十六日归,计息几何?得曰:廿五分钱廿四。术曰:计百钱一月积钱数,以为法。直贷钱,以一月百钱息乘之,有以日数乘之为实。实如法得一钱。”

又如:

“取程  取程十步,一斗。今干之八升,问几何步一斗?得田十二步半一斗。术曰:八升者为法。直一升步数而十之,如法一步。 竞程卅七步,得禾十九斗七升。问几何步一斗?得曰:减田一步有百九十七分步百七十三而一斗。  取程五步一斗,今干之一斗一升。欲减田令一升。得曰:减田十一分步五。术曰:以一升数乘五步,令十一而一。”

《筭数书》的这种体例类似于《九章算术》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》的第(2)种体例,即应用问题集的形式。

3)算表与粟米互换比率。这实际上是预备知识,包括乘法算表、石斤化朱表,以及粟米互换比率等。

   (一)乘法算表,含有10的乘方算表与分数乘法算表两种内容。

10的乘方算表在第3条“乘”中:

“一乘十,十也;十乘万,十万也;千乘万,千万。一乘十万,十万也;十乘十万,百万;半乘千,五百。一乘百万,百万;十乘百万,千万。半乘万,五千。十乘千,万也;百乘万,百万。半乘百,五十。”

分数乘法算表分别在第1条与第3条。在第1条“相乘”中的是:

        寸而乘寸,寸也;乘尺,十分尺一也;乘十尺,一尺也;乘百尺,十尺也;乘千尺,百尺也。  半分寸乘尺,廿分尺一也;三分寸乘尺,卅分尺一也;四分寸乘尺,卌分尺一也;五分寸乘尺,五十分尺一也;六分寸乘尺,六十分尺一也;七分寸乘尺,七十分尺一也;八分寸乘尺,八十分尺一也。  一半乘一,半也;乘半,四分一也。三分而乘一,三分一也;乘半,六分一也;乘三分,九分一也。四分而乘一也, 四分一也;乘半,八分一也;乘三分,十二分一也;乘四分,十六分一也。五分而乘一,五分一也;乘半,十分一也;乘三分,十五分一也;乘四分,廿分一也;乘五分,廿五分一也。

在第3条“乘”中的分数乘法表是:

        “少半乘少半,九分一也。半步乘半步,四分一;半步乘少半步,六分一也。少半乘大半,九分二也。四分乘四分,十六分一;四分乘五分,廿分一;五分乘五分,廿五分一;五分乘六分,卅分一也;六分乘六分,卅六分一也;六分乘七分,二分也;七分乘七分,九分一也;七分乘八分,五十六分一也。

(二)石斤化朱表。石、斤、朱都是重量单位,朱即铢。石斤化朱表在第17条“金贾”的后半段:

        “廿四朱一两,三百八十四朱一斤,万一千五百廿朱一钧,四万六千八十朱一石。

(三)粟米互换比率在“程禾”、“粺毇”、“粟为米”等条中,这类似于《九章算术》的粟米之法。“程禾”条是:

        “程禾  程曰:禾黍一石为粟十六斗泰半斗,舂之为粝米一石,粝米一石为米九斗,米九斗为米八斗。  程曰:稻禾一石为粟廿斗,舂之为米十斗,为毇、粲米六斗泰半斗。麦十斗为di三斗。  程曰:麦、菽、、麻十五斗为一石,禀毇、糳者,以十斗为一石。

化成整数:

稻禾30    60    30     毇米20      30       di9

“粟为米”条是:

        “粟为米  麻、麦、菽、三而当米二,九而当粟十。粟五为米三。米十为九,为八。麦三而当稻粟四。禾粟五为稻粟四。

这一条很简洁,涉及的粟类却最多,并且覆盖了“粺毇”条。将它们化成通率便是:

        麻麦菽荅                             稻粟     禾粟

           45      30      50       27       24       60       75

不难看出,“程禾”、“粟为米”两条中的粟米比率无法自洽。

其他条目中还有一些为计算所必须的预备知识。

尽管《筭数书》没有将这些预备知识集中到一起,然而,这类似于《九章算术》粟米章的“粟米之法”及《孙子算经》的卷上,是不言而喻的。

总之,《筭数书》在体例上有术文统率例题,应用问题集,以及某些预备知识等三种形式,与《九章算术》有某些相似之处(尽管《九章算术》的预备知识的分量极少);在有预备知识方面与《孙子算经》相似,而其具有的术文统率例题的形式是《孙子算经》所没有的;在有应用问题集的形式上与《张丘建算经》、《五曹算经》相似,而术文统率例题的形式及预备知识方面是《张丘建算经》、《五曹算经》所没有的。实际上,不仅《算经十书》中的这些著作,就是宋、元、明、清的许多数学著作,也都不外这三种形式。换言之,《筭数书》和《九章算术》的体例的三种形式,影响了中国传统数学的始终。只是后者一直被尊为算经之首,其影响是直接的,明显的,前者被埋入墓穴,其影响是曲折的、隐晦的。准确地说,先秦数学的这三种体例影响了中国传统数学著作的始终。

                          

2        术文

 

抽象性是数学的重要特点。中国传统数学长于计算,因而其抽象性主要体现在计算方法和程序上,也就是术文上。这个问题实际上在上一节中已经谈到了,我们已经看出,《九章算术》、《孙子算经》、《张丘建算经》与《五曹算经》的抽象程度是不同的。我们再具体分析这个问题。

1)关于一类问题的抽象性术文。

前已指出,《九章算术》所采取的术文统率例题的形式的部分中,第(一)、(二)种及第(三)种情形的总术,都是关于一类数学问题的非常抽象的术文。它们不依赖于题目中的具体数字,有时甚至不依赖于特定的对象,将术文中的术语替换成现代符号,就是公式或解法程序。这种情形在《孙子算经》卷中、下,以及《张丘建算经》、《五曹算经》中,是没有的。《孙子算经》卷上的乘法法则是相当抽象的,不过在《孙子算经》中这是特例。这是中国传统数学著作抽象性的第一个层次。

2)关于一种数学问题的抽象性术文。

中国传统数学抽象性的第二个层次体现在上述术文统率例题的形式的第(三)种情形的分术以及应用问题集部分的某些术文中,即关于某一种问题的一般解法。我们比较一下上面所引的《九章算术》与《孙子算经》的化粟为粝米、化粟为粺米、化粟为糳米、化粟为御米这4个题目及其术文。4个题目的题设、问、答分别是相同的。然而《九章算术》的术尽管都是今有术在这4种问题中应用的分术,它们却分别是根据粟米之率的一般解法,而不是具体的运算;《孙子算经》的术文则是这4个题目的具体运算,尽管其原理具有普适性,术文本身却只分别适应于这4个题目;《孙子算经》与《九章算术》相同的解法在卷上的预备知识中([8], 9页; [9]262页)。不言而喻,《九章算术》的分术都是关于某一种粟米互换问题的抽象解法,而《孙子算经》的术文则不是抽象解法,而是演算细草。

应用问题集的形式中也有关于某一种问题的抽象解法。如《九章算术》卷六“凫雁双飞”问:

    “今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海。今凫、雁俱起,问:何日相逢?

    术曰:并日数为法,日数相乘为实,实如法得一日。[5], 334页)

术文中进行运算的是“日数”而不是具体数字。《张丘建算经》的问题绝大多数也是这种情形。以卷下“河上荡杯”问为例:

“今有妇人于河上荡杯,津吏问曰:“杯何以多?”妇人曰:“家中有客,不知其数。但二人共酱,三人共羹,四人共饭,凡用杯六十五。”问:人几何?

    术曰:列置共杯人数于右方,又置共杯数于左方。以人数互乘杯数,并,以为法。令人数相乘,以乘杯数,为实。实如法得一。” [10]3443页;[11]331340页)

术文中也没有具体数字。这些术文应用的对象比较窄,只是分别适应于“凫雁双飞”、“河上荡杯”等某种问题。然而,它们没有像上面所引《孙子算经》关于粟米互换的几个题目以及我们下面将要看到的一些题目那样,将题设的具体数字纳入术文,因而,对这某一种问题而言,亦是抽象性的算法。同一种问题,只要在问题的合理范围内,不管假设什么数字,都可以用该术文求解。

3)演算细草。

《九章算术》的一部分题目以及《孙子算经》、《五曹算经》全部题目的术文不是抽象性

的公式、解法,而是具体题目的演算细草。以《九章算术》衰分章“贷人千钱”问为例:

“今有贷人千钱,月息三十。今有贷人七百五十钱,九日归之。问:息几何?

术曰:以月三十日乘千钱为法。以息三十乘今所贷钱数,又以九日乘之,为实。实如法得一钱。”[5], 245页)

术文是“贷人千钱”问的演算细草。

又以《孙子算经》卷下的“河上荡杯”问为例。这个题目与《张丘建算经》的题设的差别仅在于将“酱”换成“饭”,将“饭”换成“肉”,题设数字则完全相同。而其术文却是:

        “术曰:置六十五杯,以十二乘之,得七百八十,以十三除之,即得。[8], 20页; [9]280281页)

这条术文也是题目的演算细草,它只对“2人共饭,3人共羹,4人共肉,用杯65”这个特定题目适用,变换了数字,则不知所云,而不是像《张丘建算经》那样对三次共用的任何“河上荡杯”问题都适用。《孙子算经》卷中、下的几乎所有的问题的术文都是如此。

《五曹算经》的术文则不仅都是演算细草,而且都非常浅显。以卷一的圆田题为例:

    “今有圆田,周七十八步,径二十六步。问:为田几何?

术曰:先列周七十八步,半之,得三十九步。又列径二十六步,半之,得一十三步。二位相乘,得五百七步。以亩法除之,即得。[1314]

《筭数书》的术文,正如上面已经看到的,其抽象程度也是不同的。

1)《筭数书》有一部分术文是非常抽象的。

首先应该提到的是关于分数性质的条目:

   “增减分  增分者,增其子;减分者,增其母。

文字非常抽象,其意义也是明显的。随后的“分当半者”应是其应用。这类纯粹讨论数的性质的内容是《九章算术》等现存中国传统数学著作中所未有的。

其次,上面所引出的合分术、少广术、“径分”条的术文,“出金”条提出的相当于《九章算术》减分术、课分术的术文,以及“相乘”条的“乘分之术”、“分乘”条的“分乘分术”、“约分”条的几条“约分术”、“分钱”条与“方田”条的赢不足术、“启从”条的“求从术”、“大广”条的“大广术”、“里田”条的诸“里田术”、“以圜材方”与“以方材圜”的术文,以及“除”、“郓都”、“刍”、“旋粟”、“囷盖”、“圜亭”、“井材”等条的立体求积术等若干术文,是一些基本的数学方法或针对某一类数学问题提出的方法,具有与《九章算术》同类方法同样的抽象性。

这类非常抽象的内容超过《筭数书》能识别的内容的1/3

2)《筭数书》有一些条目,像《九章算术》的一部分及《张丘建算经》那样,提出了针对某一种数学问题的比较抽象的术文。我们对比一下上文所引出的《筭数书》的“息钱”条和《九章算术》“贷人千钱”题。这两个问题是同一种题目,然而不仅题设的数字不同,更重要的是两者术文的抽象程度不同。《九章算术》的术文只是此特定题目的具体数字的运算细草,解同类问题只能照葫芦画瓢;《算数书》的术文却是对已知“月百钱息”的任何利息问题都是适应的,显然比前者抽象。又如《筭数书》“米求粟”条:

“米求粟  以米求粟,因而五之,三成一。今有米七分升六,当为粟几何?曰:为粟一升七分升三。术曰:母相乘为法,以五乘六为实。”

这是与《九章算术》今有术所属“粝米求粟”的例题及其术([5], 214215页)同类的内容。在《筭数书》中,属于这种情形的还有“狐皮”、“金贾”、“舂粟”、“取枲程”、“粟求米”(2条)、“粟米并”、“羽矢”(后一条)、“丝练”等条。这种情形在《筭数书》中约占1/7

3)《筭数书》中更多的条目是具体题目的演算细草。前面已举过例子,我们再举几个。“铜秏”条:

“铜  铸铜一石七斤八两。今有铜一斤八两八朱,问几何?得曰:一两十二朱半。[邹大海1] 术曰:直一石朱数为法,亦直七斤八两者朱数,以一斤八两八朱者朱数乘之,如法一朱。”

“羽矢”条(前一条):

        “羽矢  羽二五钱。今有五十七分卅七,问得几何?曰:得一钱百一十四分钱七十一。术曰:二乘五十七为法,以五乘卅七为实,如法一钱。不盈,以法命分。

等等,都是具体数字的演算,抽象程度很低。这种情形约占《筭数书》的一半。

总之,就抽象程度而言,《筭数书》具有《九章算术》的三个层次,而针对一类问题的抽象性术文比《九章算术》少一些;《筭数书》有《张丘建算经》那样针对一种问题的抽象术文,《张丘建算经》却没有《筭数书》那样关于一类数学问题的抽象性术文,也没有具体演算的术文;《筭数书》尽管有一部分术文像《孙子算经》、《五曹算经》那样是题目的演算细草,而整体的抽象水平却远远高于《孙子算经》和《五曹算经》。

 

3        数学表达方式

 

《筭数书》的数学表达方式,已另属文[15]讨论。这里只引用其结论。

3.1 分数 

对于单独的一个名数分数,《九章算术》及其后来的数学著作都采取标准的同一表达方式。比如现今的以尺为单位的分数m尺(mab均为正整数),都表示成:

            mb分尺之a

《筭数书》中名数分数的表示方式则相当复杂,大体如下:

“分”后无名数单位者,凡10条:

 1mba者,8条;

 2mb分之a者,1条;

 3)省去整数部分的名数单位者,1条。

“分”后有名数单位者,凡41

 1mb分尺a者,28条;

 2m尺有b分尺之a者,6条;

 3mb分尺之a者,7条。

二类共51。在这26种表示方式中,只有第2类的第3种“mb分尺之a”者,共7条,成为后来《九章算术》等中国传统数学著作的表示方式,不足《筭数书》的1/7

此外,《九章算术》等著作的答案中若有同分母的几个分数,自第二个分数起,都必须重复分母。《筭数书》中有11条的问题的答案都是由几个同分母的分数构成的,却有3条自第二个分数起省略分母,这是《九章算术》及其以后的著作所没有的表达方式。

3.2       除法

关于除法的表达方式,《九章算术》一般先表明“法”、“实”,然后使用术语“实如法而一”、“实如法得一”或“实如法得一尺(或其它单位)”表示以“法”除“实”。

《筭数书》中关于除法的表示方式共有719种,涉及55条,比分数、答案、问题的提出与发问等的表示方式都纷杂得多。

1)术文未指明“法”与“实”,最后说“令……而一”、“如……成一数也”、“除……而得一”、“如……得一步”等。这种情形有4条。

2)术文只指明“法”,说明了被除数而未以“实”名之,最后说“如法而成一”、“如法得一尺”、“如法一尺” 、“令如法一尺”、“除如法得一尺”(或其他单位)。这种情况有10条。此外,“程竹”的原简亦只指明了“法”,未说明被除数,疑有脱误。

3)术文只指明“实”,说明了除数而未以“法”名之,最后说“令……而成一”。这种情形有2条。

4)术文只指明了“法”和“实”,其后无其他文字。这种情形有20条,是最多的一种,约占《筭数书》中使用除法的条目的2/3   

5)术文在指明了“法”与“实”之后,只说“如法成一”或“如法一翭”、“如法而一尺”(或其他单位)、“如法得一步”,而不说“实如法……”。有6条属于这种情形。

6)术文在指明了“法”与“实”之后,最后说“实如法而一”或“实如法得一”、“实如法而成一”、“实如法一”。有6条是如此。

7)术文在指明了“法“与”实“之后,最后说“实如法得一钱(或其他单位)”或“实如法一步”、“实如法得尺”。有7条属于这类方式。

在《筭数书》的19种不同的表示方式中,《九章算术》与之一致的,只有“实如法而一”、“实如法得一”、“实如法得一钱”这3项,有9条,不足《筭数书》中使用除法的条目的1/6。即使将整个第67两类方式都算在内,也才13条,亦不足1/4。并且,在《九章算术》中,一般说来,凡是抽象性的术文都使用“实如法而一”或“实如法得一”,而具体计算的术文大都使用“实如法得一钱”。两者的分野相当清楚([6], 8790页; [7]8588 页)。《筭数书》中两者的分野却不那么清楚。比如,采用“实如法而一”的固然有“合分术”这样的抽象性术文,然而也有“yin桼”这样的抽象性不高的具体运算。

3.3       数学问题

《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》等在表述一个数学问题时,都是以“今有”起首,绝大多数以“问:……几何?”发问,少数以“问:几何……?”发问。《筭数书》关于数学问题的表述方式也是异彩纷呈,没有统一的模式。

《筭数书》中数学问题的起首方式有以下4种:

1)以“程” 起首的条目有5条,6个题目;以“取程”起首的有3条,4个题目;共8条,10个题目。

2)没有任何引语作起首的有40条,60个题目。

3)以“有”起首的有5条,5个题目。

4)以“今有”起首的有6条,6个题目。

《筭数书》中数学问题的发问方式有以下3种:

1)没有任何发问语,而以直叙的方式表述数学问题的条件与答案者有13条,29个题目。

2)以直叙的方式表述数学问题,以“欲”、“欲求”、“求”代替发问语者有4条,6个题目。

3)以“几何”发问者有41条,46个题目。

其中以“程”或“取程”等作为起首者有8条,10个题目。

无任何引语作为起首者有25条,26个题目。这种表示方式在以“几何”发问的题目中

所占比例最大。

以引语“有”作为起首者有6条,6个题目。

以引语“今有”作为起首者有6条,6个题目,在《筭数书》总共81个题目中占不足1/13。正是这种方式成为后来中国传统数学的问题的提出与发问的一般方式。“今有”与“几何”逐渐演变为数学家们惯用的规范术语。

3.4       答案

《九章算术》等算经中数学问题的答案都在问题之后用“荅曰”引出。“荅曰”成为中国传统数学问题给出答案的标准引语。《筭数书》的答案的引出方式也多种多样,相当复杂,大体有以下4种:

1)答数前没有任何引语,直接给出答案者有14条,25个题目。       

2)以“曰”做引语给出答案者有31条,32个题目。

3)以“得”做引语给出答案者有3条,10个题目。

4)以“得曰”做引语给出答案者有13条,14个题目。

其中以“曰”做引语给出答案者最多,接近《筭数书》中能辨认的条目和题目的一半。其次是没有任何引语及以“得曰”做引语者,两者的条目相当。值得注意的是,《筭数书》中没有一个题目使用“荅曰”给出答案的。

《筭数书》数学术语的纷杂的表示方式反映了前《九章算术》时代中国传统数学的真实情况,是极为宝贵的原始资料。张苍、耿寿昌整理、编定《九章算术》时,才完成了数学术语的统一与规范化。显然,在《筭数书》的表达方式与《九章算术》不一致时,以《九章算术》的模式改动《筭数书》,是不合适的。 

 

4        数学内容

 

《筭数书》的数学内容相当丰富。有许多内容,特别是“增减分”、“以圜材方”、“以方材圜”等内容,是现存《九章算术》等数学著作中所没有的[16],是《筭数书》的首创。还有一些内容,比如分数四则运算法则、比例和比例分配算法、盈不足算法、同工共作和若干面积、体积问题等解法,是《筭数书》与《九章算术》共有的,在中国数学史上也都是首创。上述内容可分别归于“九数”的方田、粟米、衰分、少广、商功、赢不足等6类,《筭数书》缺少均输、方程、勾股(或旁要)4类的内容,是《筭数书》原来就没有,还是竹简烂脱造成的,不得而知。总的说来,就《筭数书》现在能识别的部分看,其内容的宽泛、术文的完整与严谨,是难以望《九章算术》的项背的。

人们特别关注《筭数书》与《九章算术》的异同及其关系。《筭数书》“少广”第一条的“少广术”、“少广”第二条的9个例题、“里田”条的里田术与1个例题、“女织”的题目及其术,分别与《九章算术》相应的内容基本相同。《筭数书》“相乘”条的“乘分之术”,“分乘”条的“分乘分术”,“约分”条的“约分术”,“合分”条的“合分术”,“出金”条相当于减分术、课分术的两条术文,“粟为米”条的粟米互换比率,“粟求米”(2条)、“米求粟”条的术文,以及“除”、“郓都”、“刍”、“旋粟”、“囷盖”、“圜亭”、“井材”、“大广”等条的术文,与《九章算术》相关内容基本相同而例题完全不同。就是说,《筭数书》与《九章算术》基本相同的术文有17条(重复者算1条),基本相同的题目只有11道,这在《筭数书》中所占的比例是相当小的,在《九章算术》中所占比例则更小。另外,在前文中已经看到,《筭数书》与《九章算术》的“息钱”问题,完全是同一种类型,题设数字完全不同,解法的抽象程度也不同,因而是不同的题目。至于《筭数书》的其他条目,约占《筭数书》的2/3,与《九章算术》比较起来,也就是应用对象雷同,而题设的条件和术文差别都相当大。因而,《筭数书》与《九章算术》前身的一部分肯定有某种血缘关系,但从整体说来,它不可能是《九章算术》的前身。而两者的这部分内容孰早孰后,是一个目前难以定论的问题。况且,《筭数书》是从已有的不同著作中摘编而成的,不是一部系统编纂的著作([10]34页;[11]331页;[17])!说《筭数书》是《九章算术》的前身,一般是首先先验地提出这种假定,然后找两者内容相同的例证——这样的例证当然不止一个,并且认为《九章算术》是汉代甚至是东汉才编纂的,而不是首先对两者进行整体分析,并通过这种分析得出实事求是的结论,更不去考察它们有什么不同,这种不同占多大分量。这种考察从方法论上来说是不妥当的。

那么,《筭数书》与《孙子算经》等其他算经相比又怎样呢?《筭数书》能辨认的题目有86个;《孙子算经》卷中、下共有题目64个;《张丘建算经》现存92,《五曹算经》有67个。显然,就题目的数量而言,《筭数书》少于《张丘建算经》,稍多于《孙子算经》与《五曹算经》。我们再将《筭数书》与《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》的数学内容比较如下(表1):

《筭数书》与《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》的数学内容比较

 

筭数书

孙子算经

张丘建算经

五曹算经

预备知识

分数性质

分数四则

粟米互换

异乘同除

最小公倍数

   

同工共作

赢不足术

      

       

       

等差级数

简单      

       

       

不定问题

        

        

        

化圆为方

        

      

       

化方为圆

求从(广)                 

                                             

      

      

       

少广

   

    

    

大广田

      

      

       

曲线形面积

蕴涵

      

      

      

方柱

蕴涵

    

    

    

圆柱

   

  

  

方锥

   

   

   

圆锥

  

   

  

方亭

   

   

   

圆亭

刍甍                  

                                            

 

  

   

刍童

   

   

   

羡除

  

  

  

  

  

委粟

   

   

   

勾股

     

     

     

一次测望

     

     

    

重差

   

   

   

开平方

          

          

开立方

方程

 

1只列出了一些主要内容,列出的项目也不一定准确。由这四部著作的34项内容的对照可以看出,《筭数书》有22项,《孙子算经》有19项,《张丘建算经》有28项,《五曹算经》仅有5项。《孙子算经》还有个别内容,如鸡兔同笼等,未列入。已经列入的内容,如“预备知识”一项,尽管有的内容《筭数书》有而《孙子算经》没有,但就“预备知识”的整体而言,《孙子算经》的内容要比《筭数书》完整得多。《孙子算经》、《张丘建算经》有某些创新,比如前者的同余式解法和对开方术的改进,后者对最小公倍数和等差级数问题,等等,而《五曹算经》非常浅显,几乎没有新东西。总的说来,就所涉及到的数学分支而言,《筭数书》逊于《张丘建算经》,与《孙子算经》相比不分轩轾,而远远超过《五曹算经》。如果考虑到“《筭数书》中大部分算题的形成年代至迟不会晚过秦代,有的甚至更早”,那么,它比《孙子算经》至少要早六七百年[1819],比《张丘建算经》、《五曹算经》要早八九百年。因此,就创新程度与内容宽泛、深刻而言,《筭数书》在中国传统数学史上的地位,要比《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》重要得多。

 

5        几点看法

 

《筭数书》反映了先秦数学的真实状况,是我们研究先秦数学的极为宝贵的原始资料。它表明,中国传统数学著作的体例,数学的主要内容、方法和框架在先秦已经确立了。《筭数书》的数学表达方式的纷杂不统一,是先秦数学的固有现象。这种现象继续到西汉初年。张苍、耿寿昌整理《九章算术》时对数学的表达方式做了规范化处理。这应该是中国数学史上第一次统一数学名词和规范表达方式,与秦汉在社会体制、事功、疆域、物质文明和思想文化等方面为中国形成一个统一的国家奠定基础的过程大体是同步的。它标志着中国传统数学发展到了一个新的阶段。此后直到20世纪初中国传统数学中断,中国数学著作中,分数、除法、答案的表示一直沿用《九章算术》的模式。

《筭数书》杰出的数学成就说明先秦数学已经相当发达,为中国传统数学的第一个高潮不是开始于编定《九章算术》的西汉而是在先秦的观点[20]提供了有力的佐证。事实上,张苍、耿寿昌编定《九章算术》,只是这个高潮的总结,这个高潮的波峰应该在战国时期。这对我们重新认识中国数学史,尤其是先秦数学史,提供了决定性的资料。

上面这些事实,为刘徽关于《九章算术》的编纂过程的论述提供新的佐证。刘徽说:

“周公制礼而有九数,九数之流,则《九章》是矣。往者暴秦焚书,经术散坏。自时厥后,汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残,各称删补。故校其目,则与古或异,而所论者多近语也[5], 177页)

这不仅是关于《九章算术》编纂的最早论述,也是最准确的论述。自戴震(17241777年)起,人们怀疑刘徽的论述,否认张苍等整理《九章算术》[21],这是没有道理的。《筭数书》所反映的先秦数学文字表述的古朴,《九章算术》所使用的汉代语言,也与刘徽的论述相符合([6], 94105页; [7]92103页)。

《筭数书》和《九章算术》的某些内容,应该有血缘关系。但是,从整体上说,《筭数书》不是《九章算术》的前身。与《算经十书》现存诸算经相比,《筭数书》在中国数学史上的重要性仅次于《九章算术》。

 

     

1郭书春.《筭数书》校勘[J].中国科技史料,2001,223:202219.

2彭浩.中国最早的数学著作《算数书》[J].文物,1990,(9):8590.

3钱宝琮.中国数学史[A].李俨钱宝琮科学史全集[Z].5.沈阳:辽宁教育出版社,1998.8687136137.

4郭书春.关于中国传统数学的“术” [A].高小山,李文林等.数学与数学机械化[C].济南:山东教育出版社,2001.444448.

5九章算术[M].郭书春汇校.沈阳:辽宁教育出版社.1990.其修订版将在2004年出版。

6郭书春.古代世界数学泰斗刘徽[M].济南:山东科学技术出版社.1992.

7郭书春.古代世界数学泰斗刘徽[M]. 台北:明文书局.1995.

8孙子算经[A].郭书春点校.算经十书[Z].郭书春,刘钝点校.第二册.沈阳:辽宁教育出版社,1998.

9孙子算经[A].郭书春点校.算经十书[Z].郭书春,刘钝点校. 台北:九章出版社,2001.

10 (北魏)张丘建.张丘建算经[A].郭书春点校. 算经十书[Z].郭书春,刘钝点校.第二册.沈阳:辽宁教育出版社,1998.

11 (北魏)张丘建.张丘建算经[A].郭书春点校. 算经十书[Z].郭书春,刘钝点校. 台北:九章出版社,2001.

12郭书春.试论《算数书》的理论贡献与编纂[A].法国汉学[C].6.北京:中华书局,2002.505537.

13  (北周)甄鸾.五曹算经[A].郭书春点校. 算经十书[Z].郭书春,刘钝点校.第二册.沈阳:辽宁教育出版社,1998. 34.

14 (北周)甄鸾.五曹算经[A].郭书春点校. 算经十书[Z].郭书春,刘钝点校. 台北:九章出版社,2001.353354.

15郭书春.试论《筭数书》的数学表达方式[J]. 中国历史文物,2003(3):2838.

16郭书春.《算数书》初探[A].国学研究[C].12.北京:北京大学,2003.307349.

17邹大海.《算数书》初探[J].自然科学史研究,2000,20(3).

18算经十书[Z]. 钱宝琮校点.下册.北京:科学出版社,1963.275.

19李俨钱宝琮科学史全集[Z].4.沈阳:辽宁教育出版社,1998.217.

20邹大海.中国数学的兴起与先秦数学·后记[M].石家庄:河北科学技术出版社.2001.517.

21 (清)戴震.《九章算术》提要[A].郭书春.中国科学技术典籍通汇·数学卷[Z].1.郑州:河南教育出版社,1993. 9596.

 



收稿日期2003-01-28修回日期2004-01-02

作者简介郭书春,1941年生,山东胶州人,中国科学院自然科学史研究所研究员,主要从事数学史研究。

基金项目国家自然科学基金资助课题:《算数书》与先秦数学研究(批准号:10171107)。

* 本文曾在第五届汉字文化圈数学史与数学教育国际学术讨论会(20028,天津)上宣读。发表于《自然科学史研究》23卷第2期(2004年),第106-120页。

本文关于《筭数书》的引文,除了特加说明者外,均引自文献[1]

钱宝琮认为,原本《夏侯阳算经》已佚,现传本是8世纪的一部实用算术书,很可能是《韩延算术》。参见文献[3] 中国数学史界普遍接受钱宝琮的看法。

此句,笔者在《〈筭数书〉校勘》(文献[1])中改为“欲乾之令一升,问减田几何,未允,今依彭浩恢复原文。

此文曾先后在les premières Assises de la Connaissance Réciproque(15,novemrre,2001,布鲁塞尔)、第24届国际数学家大会数学史卫星会(20028月,西安)、第三届中国科技典籍国际学术研讨会(20034,德国图宾根大学)上宣读。参见文献[15]

这里实际上只涉及36条,因为有5条重出。然而重出者有2种表示方式,故重复计算。

这里实际上只涉及44条。除了第2类重出5条外,第1类与第2类还重出2条。亦因为系2类表示方式,亦重复计算。

现传《张丘建算经》各版本的唯一来源是南宋本,其卷二、三之间烂脱,丢失几个问题,不得而知。

钱宝琮认为《孙子算经》成书于公元400年前后。参见文献[18][19]


 [邹大海1]79页。