試論《筭數書》的數學表達方式*

——兼論《九章算術》對中國傳統數學表達方式的規範化

 

中國科學院自然科學史研究所    郭書春

                     摘要

    本文通過對《筭數書》的具體考察,發現其數學表達方式十分繁雜,沒有同

一的格式:名數分數的表示方式有26種,除法的表示方式有719種,數學

問題的起首方式有4種,發問方式有3種,問題答案的表示方式有4種。其中名

數分數、實如法、數學問題的起首與發問方式,《九章算術》與之相同者,在《筭

數書》中所占分量界於之間;而兩者的問題答案的表示方式相同者爲0

本文認爲,《筭數書》中關於分數、除法、問題的起首、發問和答案的各種各樣的

表示方式是先秦數學所固有的,是研究先秦數學表達方式的寶貴資料;張蒼、耿壽

昌等在編定《九章算術》時對中國傳統數學的表達方式作了規範化處理;顯然,以

《九章算術》爲模式改動《筭數書》的表達方式,是不合適的。

The Ways of Mathematical Expression of the Suanshushu: Simultaneous Discussion of the Nine Chapters on Mathematical Procedures to the Standardization of the Ways of Chinese Traditional Mathematical Expression

 Guo Shuchun

(Institute for the History of Natural Science, CAS, Beijing 100010)

   Abstract The Suanshushu(算數書, Book of Arithmetic, unearthed from the tomb 247 of Han Dynasty at Zhangjiashan, Jiangling county in Hubei province in the 1980’s, which contains about 200 bamboo strips, is a work of the Qin or Pre-Qin Period, and is the earliest work of Chinese traditional mathematics that we can see. It has a great significance. This paper, by a concrete research on Suanshushu, discovers that its ways of mathematical expression are very complicated, and there is no identical pattern: the expressing ways of nominal fraction are two categories and six ways, the expression ways of division are seven categories and nineteen ways, the incept ways of mathematical problems are four kinds, the ways of asking questions are three kinds, the expressing ways of answering questions are four kinds. Among those, the ways of denominate fraction, shi ru fa (dividend is divided by divisor), the incept and asking questions, which are the same with the ways in the Nine Chapters on Mathematical Procedures(九章算術), occupies between andin the Suanshushubut the two book have no common expression of keys. This paper points out that all kinds of expressing ways of fraction, division, the inception of question, asking questions, and keys in the Suanshushu are indigenous in Pre-Qin mathematics, and are valuable source for studying Chinese traditional mathematics; Zhang Cang(張蒼) and Geng Shouchang(耿壽蒼), etc. did some work on the standardization of the expressing ways of Chinese traditional mathematics when they compiled the Nine Chapters on Mathematical Procedures; Admittedly, it is not proper to take the Nine Chapters on Mathematical Procedures as a model to modify the expressing ways of the Suanshushu.

    Key words Suanshushu (Book of Arithmetic), Nine Chapters on Mathematical Procedures   

 

衆所周知,自中國古代最重要的數學經典《九章算術》[1]起,中國傳統數學術語的表達方式,比如分數、除法、問題的提出與發問、答案等等,都基本採取同一的格式。人們不禁要問,這種同一的格式,是中國傳統數學著作中固有的呢,還是數學發展到一定階段才産生的?如果是後者,那麽,是到什麽時候才産生的呢?這些問題,在20世紀80年代以前是不會提出,即使有人提出,也是無法回答的。因爲,直到那時爲止,傳世最早的數學著作就是《九章算術》。80年代中期之後,由於湖北江陵張家山漢墓《筭數書》的出土,特別是,20009月,《筭數書》釋文[2]的公佈,情況發生了根本的變化,使我們有可能回答這個問題。爲此,我們首先要考察《筭數書》中關於分數、除法、問題的提出與發問、答案的表示方式,並與《九章算術》的表示方式進行比較。我們的討論基於這樣兩個前提:一是《筭數書》基本上是秦代或先秦的作品,[3]我們更傾向於其主要部分是産生於先秦的,也就是公元前3世紀以前的作品;一是根據劉徽的論述,《九章算術》是西漢張蒼、耿壽昌在先秦“九數”基礎上刪補而成的,也就是在公元前2~3世紀已經成書[4]

 

分數的表示方式

中國是世界上最早提出並使用分數四則運算的民族。分數四則運算是中國傳統數學的基礎性內容和重要方法。《筭數書》和《九章算術》的大部分術文和題目都必須借助於分數和分數四則運算來解決。然而,在這兩部著作中,分數的表示方式差別相當大。我們分非名數分數和名數分數兩種情形來考察。

(一)   非名數分數

《筭數書》中非名數真分數的表示方式有兩種。現今的真分數,(ab皆爲正整數)《筭數書》表示成:

    1)在相乘[5]、乘、合分、出金等4條中稱爲“ba”;

    2)在約分、徑分、啓從等3條中稱爲“b分之a

兩種方式在《筭數書》中的比重大體相當而前者稍大。第(2)種方式比第(1)種多了一個“之”字。

而在《九章算術》中,非名數真分數的表示方式只有一種。比如分數,都稱爲“b分之a,無一例外。《九章算術》的表示方式與《筭數書》中的第(2)種方式完全相同。

對於非名數帶分數,《筭數書》只有一處,這就是“徑分”條中的“三有半”,即3。《筭數書》以“有”字連接整數部分與分數部分。“有”通“又”。後來,一直到今天,人們仍用“又”字連接帶分數的兩部分。

《九章算術》中只在方田章合分術的例題中有2個帶分數,即“一、六十三分之五十”“二、六十分之四十三”[6],分別表示12。《九章算術》在整數與分數兩部分之間,沒有《筭數書》的“有”字,也沒有任何連接詞。

《筭數書》與《九章算術》都使用“分”字表示對某一物體的分割,它與分母共同構成了分數的單位。

(二)   名數分數

對名數分數,我們分單獨的一個分數,與同分母的幾個分數兩種情形來考慮。

一.單獨的一個分數的情形。

對名數分數,我們只討論帶分數的情形。因爲真分數只是帶分數的整數部分爲零的情形。《筭數書》對名數分數的表示比非名數分數紛雜得多。比如現今的以尺爲單位的分數m尺(mab均爲正整數),我們先將其分爲“分”後無名數單位與“分”後有名數單位二類:

1.“分”後無名數單位:

(1)       在負米、金賈、粟求米、圜亭、以方材圜等5條中表示成

mba

(2)       在“盧唐”條中表示成

mb分之a

這類方式分2種,凡6條。第(2)種比第(1)種在“分”後多一“之”字;

2.“分”後有名數單位:

(1)       在相乘、合分、徑分、出金、租、舂粟、銅秏、羽矢、桼錢、繒幅、息錢、

yin桼、稅田、程竹、醫、賈鹽、挐脂、取程、秏租、租誤券、粟求米、負炭、方田、

以圜材方等24條中表示成

mb分尺a

(2)       在取程、取枲程、秏、少廣、大廣等5條中表示成

m尺有b分尺之a

(3)       在出金、粺毇、秏、旋粟、啓從、大廣等6條中表示成

mb分尺之a

這類方式有3種,凡31條(出金、取程、秏、大廣等4條重出,不計在內),遠遠超過“分”

後無名數的類型。而其中最多的是“mb分尺a”的表示方式,達24條之多,接近有名數

分數的條目的

值得注意的是,《筭數書》中有的同一條中的分數使用不同的表示方式。如“出金”條

同時使用“mb分尺a”與“mb分尺之a”二種方式;“取程”條同時使用“mb分尺a”與“m尺有b分尺之a”二種方式;“秏”、“大廣”二條都同時使用“m尺有b分尺之a”與“mb分尺之a”二種方式;“粟求米”條同時使用“mba”與“mb分尺a”二種方式。

對於單獨的一個名數分數,《九章算術》及其後來的數學著作都採取標準的同一方式,即表示成:

            mb分尺之a .

也就是與《筭數書》的第2類的第(3)種方式相同。傳本中偶有不是如此表示的,人們便

認爲是舛誤,成爲校勘對象。比如《九章算術》商功章“委粟術”中“程粟”之劉徽注“容

四合一龠五分之三也”,南宋本與源於《永樂大典》的戴震輯錄本均如此,戴震整理

屈曾發刻的豫簪堂本和孔繼涵刻的微波榭本中都在“五分”之下校補“龠”字,其後各本

均依戴校[7]

《九章算術》與《筭數書》採用相同方式的“mb分尺之a ”者在《筭數書》中只有

6條,不足《筭數書》的   

二.有同分母的幾個分數的情形。

《筭數書》中“共買材”、“狐出關”、“狐皮”、“女織”、“租”、“婦織”、“yin桼”、“秏”、“米粟”、“粟米*[8]”、“米出錢”等11條的問題的答案都是由幾個同分母的分數構成的。它們的表示方式卻有兩種:

(1)       “狐出關”、“狐皮”、“并租”等3條自第二個分數起省略分母。 “狐出關”

問的答案是:

        得曰:

        犬出十五錢七分六,

        狸出卅一錢分五,

狐出六十三錢分三。

分母都是“七”,自第二個分數起省去。“狐皮”問的答案是:

        得曰:

        狐出十二、七十二分十一,

        狸出八、分卌九,

        犬出四、分十二。

分母都是“七十二”,自第二個分數起亦省去。“并租”問的答案是:

得曰:

禾租四斗卌七分十二,

麥租三 斗分九,

荅租二斗分廿六。

分母都是卌七,自第二個分數起亦省去。

(2)       答案都是由幾個同分母的分數構成的11條中,除“狐出關”、“狐皮”、“

租”外,其餘8 條均自第二個分數起重復分母。如“女織”問的答案:

曰:

始織一寸六十二分寸卅八,

次三寸六十二分寸十四,

次六寸六十二分寸廿八,

次尺二寸六十二分寸五十六,

次二尺五寸六十二分寸五十。

《九章算術》的答案中若有同分母的幾個分數,其表示方式與《筭數書》的第(2)種

相同,即自第二個分數起,都要重復分母。如《九章算術》衰分章“女子善織”與《筭數書》 “女織”問基本相同,只是前者將分母約簡爲“三十一”[9]。又如衰分章 “甲乙丙持錢出關”問的答案爲:

        甲出五十一錢一百九分錢之四十一,

        乙出三十二錢一百九分錢之一十二,

        丙出一十六錢一百九分錢之五十六。[10]

這種重復分母的表示方式在《九章算術》中無一例外。

綜合上述單獨一個分數與同分母的幾個分數這兩種情形,《筭數書》中名數分數的各種表示方式的條目數如下:

1.“分”後無名數單位者,凡10條:

   1mba者,8條;

   2mb分之a者,1條;

   3)省去整數部分的名數單位者,1條;

2.“分”後有名數單位者,凡41[11]

   1mb分尺a者,28條;

   2m尺有b分尺之a者,6條;

   3mb分尺之a者,7條。

二類共51[12]。在這26種表示方式中,只有第2類的第(3)種“mb分尺之a”者,共7條,成爲後來中國傳統數學的表示方式,《九章算術》與之相同,不足《筭數書》的

 

除法的表示方式

與分數比較,《筭數書》關於除法的表述方式更爲複雜。在中國傳統數學著作中,除數通常稱爲“法”,被除數通常稱爲“實”,實施除法的過程被稱爲“實如法而一”。《筭數書》的除法有的沒有“法”、“實”的名稱,有的只指出“法”,或只指出“實”,有的指出了“法”與“實”,卻沒有術語“實如法而一”,有的則“法”、“實”、“實如法而一”俱全。我們詳細分析如下:

1.  術文未指明“法”與“實”。

1)最後說“令……而一”。比如“取程”條第3個題目:

    取程五步一斗。今乾之一斗一升。欲減田令一升。[13]  術曰:以一升數乘五步,令十一而一。

    2)最後說“如……成一數也”。比如“秏租”條的題目:

取程七步四分步一而一斗。今乾之七升少半升,欲求一斗步數。 術曰:直十升,

以乘七步四分步一,如乾成一數也。

3)最後說“除……而得一”。“絲練”的術文便是如此:

    以級絲求練絲,因而十二之,除十六而得一。

4)最後說“如……得一步”。如“啓從”條的第1個題目:

廣廿三步,爲啓從求田四畝。術曰:直四畝步數,令如廣步數,而得從一步。

其引文中的題目的答案均被略去。這裏給出了除數和被除數,但未冠以“法”和“實”的名稱。[14]用“令”、“如”、“除”表示“除”的行動,而用“而一”、“成一”、“得一”表示“除”的結果。

2.  術文只指明“法”,說明了被除數而未以“實”名之。這裏有2種情況:

1)最後說“如法而成一”。“約分”條的“其一術”便是如此:

其一術曰:以分子除母,少,以母除子,以爲法。子、母各如法而成一。

2)最後說“如法得一尺”、“如法一尺” 、“令如法一尺”、“除如法得一尺”(或其他單位)。前面引出的“共買材”條中題目的術文最後就是“如法得一錢”,“舂粟”、“負炭”條中的題目也是如此。又如“銅秏”條題目:

    鑄銅一石秏七斤八兩。今有銅一斤八兩八朱,問秏幾何?術曰:直一石朱數爲法,

亦直七斤八兩者朱數,以一斤八兩八朱者朱數乘之,如法一朱。

“取程”條的第1個題目、“米出錢”條的2個題目皆亦如此。又如“稅田”條的題目:

        稅田廿四步,八步一斗,租三斗。今誤券三斗一升,問幾何步一斗?  術曰:三斗

一升者爲法,十稅田,令如法一步。

“粟米”條的第2個題目亦如此。少廣術的最後爲“除積步如法,得從一步”。第2條“少廣”的第1個題目的最後亦爲“除如法,得從一步,爲從百六十步”。這種情況共有10條。

此外,“程竹”的原簡亦只指明了法,未說明被除數,疑有脫誤。

3.  術文只指明“實”,說明了除數而未以“法”名之,最後說“令……而成一”。“以

圜材方”、“以方材圜”2條便是如此。以“以圜材方”爲例:

以圜材爲方材,曰大四韋二寸廿五分寸十四,爲方材幾何?術曰:直大四韋,因而

五之爲實,令七而一四。

4.  術文只指明了“法”和“實”,其後無其他文字。如“相乘”條中的乘分術:

乘分之術曰:母乘母爲法,自相乘爲實。

屬於這種情形的還有:分乘、徑分、出金、狐皮、負米、傳馬、醫、石lv、賈鹽、租誤券、粟求米、米求粟*、米粟、粟米、盧唐、羽矢、分錢、方田、啓廣,連同“相乘”條在內,凡20條,是最多的一種,約占《筭數書》中使用除法的條目的   

5.術文在指明了“法”與“實”之後,只說“如法”,而不說“實如法”。有6條屬於這種情形。它們之中又有細微區別:

1)說“如法成一”。此種只有“合分”條的“合分術”的第2段術文:

    母相類者,子相從。其不相類者,母相乘爲法,子互乘母,并以爲實,如法成一。

2)說“如法一翭”。亦只1 條,即第1條“羽矢”條的題目:

羽二翭五錢。今有五十七分翭卅七,問得幾何?  術曰:二乘五十七爲法,以

五乘卅七爲實,如法一錢。

3)說“如法而一尺”。“婦織”條題目的術文便是如此。[15]另外,“租”條題目的術文使用“爲法而一斗”。

4)說“如法得一步”,有“誤券”、“大廣”2條。以“大廣”條爲例:

    廣十二步卌九分步之七,從十三步七分步之四,問爲田幾何?  大廣術曰:直廣、

從,而各以其分母乘其上全步,令分子從之,令相乘也爲實。有各令分母相乘爲法。如

法得一步。

6.  術文在指明了“法”與“實”之後,最後說“實如法……一”。有6條是如此。它

們之中也有細微區別:

1)說“實如法而一”,有“合分”、“yin桼”2條。比如“合分”條的又術:

    有曰:母乘母爲法,子羨乘母爲實,實如法而一。

2)說“實如法得一”,有“狐出關”、“取枲程”2條。“狐出關”的題目在前面已經引出,其術文是:

術曰:令各相倍也,之,七,爲法。以租各乘之,爲實。實如法得一。

3)術文的最後說“實如法而成一”。“粟米并”條有一題,題目已殘,不可辨認,術文卻完整。其術文是:

    其術曰:直米、粟,五米三粟,并,以爲法。并米、粟,各乘之,爲實。實如法而

成一。

4)術文的最後說“實如法一”。“啓從”條“求從術”的第2段便是如此:

    即以廣、從相乘,凡令分母相乘爲法,分子相乘爲實,實如法一。

7.  術文在指明了“法“與”實“之後,最後說“實如法……錢(或其他單位)”。有

7條屬於這類方式。它們之中也有細微區別:

1)術文的最後說“實如法得一錢(或其他單位)”。有金賈、桼錢、繒幅、挐脂、息錢等5條採用這種方式,如“金賈”條的問題是:

金賈兩三百一十五錢,今有一朱,問得錢幾何?  術曰:直一兩朱數以爲法,以錢數爲實,實如法得一錢。

2)術文的最後說“實如法一步”,只有1條,即“啓從”條“求從術”的第1段術文:

    廣分子乘積分母爲法,積分子乘廣分母爲實,實如法一步。

3)術文的最後說“實如法得尺”,只有1條,即“女織”。此問題是:

    鄰里有女惡自善也織,日自再,五日織五尺。問始織日及其次各幾何?  術曰:直

二、直四、直八、直十六、直卅二,,以爲法。以五尺偏乘之,各自爲實。實如法得

尺。

這條於“尺”前無“一”字,權歸此項。

《筭數書》中法、實與“實如法”的表示方式共有719種,涉及55條,比分數、答案、問題的提出與發問等的表示方式都紛雜得多。從上面的歸納中,我們大體可以看出引入這些表達方式的先後順序。第1類引入的時間最早,當時尚未産生“法”與“實”等術語,只用“如(或令)……而一(或得一)”表示除法。隨著除法運算的增多,需要確定除的標準,並賦予一個專門術語,這就是“法”;後來又賦予被除數一個專門術語,這就是“實”。“法”在除法中的地位要比“實”重要,這就是爲什麽只指出“法”的條目遠比只指出“實”的條目多。“法”的産生應該比“實”早一些。在“法”與“實”都産生之後,産生了第4類。後來産生了第5類。最後産生了第67兩類表述方式。當然,這種發展過程不可能是直線的,有些表述方式必然存在著共存時期。

《九章算術》及此後中國傳統數學著作的“術”或“法”、“草”中使用除法時,一般都分別與《筭數書》的第6類第(1)、(2)種,第7類第(1)種相同,即先說明“法”,再說明“實”,然後使用術語“實如法而一”、“實如法得一”或“實如法得一尺(或其它單位)”表示以法除實。

很明顯,在《筭數書》的19種不同的表示方式中,後來的《九章算術》與之一致的,只有“實如法而一”、“實如法得一”、“實如法得一錢”這3項,9條,不足《算數書》中使用除法的條目的。即使將整個第67兩類方式都算在內,也才13條,亦不足

並且,在《九章算術》中,一般說來,凡是抽象性的術文都使用“實如法而一”或“實如法得一”,而具體計算的術文大都使用“實如法得一錢”。兩者的分野相當清楚。[16]《筭數書》中兩者的分野卻不那麽清楚。比如,採用“實如法而一”的固然有“合分術”這樣的抽象性術文,然而也有“yin桼”這樣的抽象性不高的具體運算;採用“實如法得一”的“狐出關”、“取枲程”2條卻都是具體運算。

 

數學問題的表述方式

《筭數書》關於數學問題的表述方式也是異彩紛呈,沒有統一的模式。《九章算術》與之有相當大的差異。我們先看《筭數書》的幾個例題:“約分”條中的題目:

二千一十六分之百六十二,約之,百一十二分之九。

題目的起首沒有任何引語,亦沒有“問”、“幾何”類的發問辭,直接給出了題目的條件和答案。

2條“少廣”條中的第一、二個題目:

廣一步、半步,以一爲二,半爲一,同之三,以爲法。即值二百卌步,亦以一爲二。

除如法,得從一步,爲從百六十步。

下有三分,以一爲六,半爲三,三分爲二,同之十一。得從百卅步有十一分步之十,

乘之田一畝。

題目的起首亦沒有任何引語,亦沒有發問辭,但不僅直接給出了題目的條件和答案,而且在答案前給出了運算程序,即所謂“術”,此條的其他題目亦如此。

“共買材”條中的題目:

三人共材以賈,一人出五錢,一人出三錢,一人出二錢。今有贏四錢,欲以錢數衰

出之。

 “啓從”條中的一個題目:

        廣廿三步,爲啓從求田四畝。

以上二個題目的起首亦沒有引語,亦沒有發問辭,給出題目的條件之後,以“欲”或“求”表達了提問者的願望。

“秏租”條中的題目:

    取程七步四分步一而一斗。今乾之七升少半升,欲求一斗步數。

以引語“取程”作爲題目的起首,以“求”表達提問者的願望。

“程竹”條中的第2題:

        程曰:八寸竹一個爲尺五寸簡三百六十六。今欲以此竹爲尺六寸簡,簡當幾何?

以引語“程曰”作爲題目的起首,而以“幾何”發問。

“狐出關”中的題目:

        狐、狸、犬出關,租百一十一錢。犬謂狸、狸謂狐:而皮倍我,出租當倍我。問出

各幾何?

題目的起首沒有任何引語,而以“問……幾何”作爲發問辭。

“出金”條的第1題:

        有金三朱九分朱五。今欲出其七分朱六,問余金幾何?

以引語“有”作爲題目的起首,而以“問……幾何”作爲發問辭。

“出金”條的第2題:

        今有金七分朱之三,益之幾何而爲九分七?

以引語“今有”作爲題目的起首,而以“……幾何……”作爲發問辭。

“賈鹽”條的題目:

        今有鹽一石四斗五升少半升,賈,取錢百五十,欲石lv之,爲錢幾何?

以引語“今有”作爲題目的起首,而以“欲……,爲幾何”作爲發問辭。

    以上11個題目只是《算數書》中比較典型的例子,卻遠不是其題目類型的全部。從這11個問題的條件的表述和發問的不同,足可以看出《筭數書》中問題表達方式的多樣性。我們再從數學問題的起首方式與發問方式將《筭數書》中的題目做進一步的歸納、分類。

一.數學問題的起首方式。

《筭數書》中數學問題的起首方式有以下4種:

1.  數學問題以“程”或“取程”起首的有8條:

    以“程”起首的條目有5條,6個題目:程竹2[17]、醫*、取程1、盧唐、羽矢;

以“取程”起首的條目有3條,4個題目:取程2、秏租、取枲程。

2.  沒有任何引語作起首的有40條,60個題目:

約分、徑分2、共買材、狐出關、狐皮、女織、租、負米、金賈、舂粟*、銅秏、傳馬、羽矢、桼錢、繒幅、息錢、yin桼、稅田、挐脂2、租誤券、秏8、粟米1、負炭、行、分錢、米出錢2、方田、除、鄆都、芻、旋粟、囷蓋、圜亭、井材、以圜材方、以方材圜、啓廣、啓從3、少廣9、大廣。

3. 以“有”起首的有5條,5個題目:

出金1、婦織、米粟、粟米1*、圜材。

4. 以“今有”起首的有6條,6個題目:

合分、出金1、賈鹽、粟求米(第2條)、米求粟、田。

二.數學問題的發問方式。

1.沒有任何發問語,而以直敘的方式表述數學問題的條件與答案者有13條,29個題目:

約分、徑分2、秏8、粟米1、除、鄆都、芻、旋粟、囷蓋、圜亭、井材、少廣9

田。

2.以直敘的方式表述數學問題,以“欲”、“欲求”、“求”代替發問語者有4條,6個題目。分別是共買材、取程1、秏租、啓從3

3.以“幾何”發問者有41條,46個題目:

   合分、出金2、狐出關、狐皮、女織、租、負米、金賈、舂粟、銅秏、傳馬、婦織、

羽矢、桼錢、繒幅、息錢、yin桼、稅田、程竹2、醫、賈鹽、挐脂2、取程2[18]、取枲程、租誤券、粟求米(第2條)、米求粟、米粟、粟米1、負炭、盧唐、羽矢、行[19]、分錢、米出錢2、方田、以圜材方、以方材圜、圜材、啓廣、大廣*

對以“幾何”發問的41條,46個題目,結合問題的起首方式,又可再分析如下:

1)以“程”或“取程”等作爲起首者有程竹2、醫、取程2、取枲程、盧唐、羽矢等6 條,8個題目。“程”的本義是度量,後來引申爲標準。《九章算術》商功章“功程積實”、“程功尺數”、“冬程人功”、“春程人功”、“夏程人功”、“秋程人功”、“程粟”等都是指人功與粟米的標準量。《筭數書》中的“程”也是標準的意思。“取程”、“秏租”、“取枲程”等條的“程”指禾、粟、大麻曬乾的標準量,“程禾”規定了粟米互換的標準,“程竹”是用竹做竹簡的標準量,“盧唐”、“羽矢”等條中的“程”則規定了用竹做飲器、矢的標準,而“醫”條中的“程”則是對醫師治病的報酬的規定。這些標準是由各諸侯國或某級政府規定的,作爲計算賦役、租稅、勞動報酬、粟米互換、工場的工作量的依據。因此,以“取程”、“程”作爲起首的題目起源應該相當早,比如,在“禮崩樂壞”以前,學術尚未下移的三代,或“禮崩樂壞”、學術下移的春秋早期,這類問題就産生了。

2)無任何引語作爲起首者有狐出關、狐皮、女織、租、負米、金賈、舂粟、銅秏、傳馬、羽矢、桼錢、繒幅、息錢、yin桼、稅田、租誤券、負炭、行、分錢、米出錢2、方田、以圜材方、以方材圜、啓廣、大廣等25條,26個題目。這種表示方式在以“幾何”發問的題目中所占比例最大。應該說,這類題目大多反映了民間活動,不具有官方性質,不加“程”字,亦不加其他引語做提示。

3)以引語“有”作爲起首者有出金1、婦織、挐脂1、米粟、粟米1、圜材等6條,6個題目。大約隨著民間活動的頻繁,涉及的範圍越來越大,爲了強調其中的數量是約定俗成的,具有某種權威性,便在這類約定前加“有”字。這種表示方式的産生應該比上一種晚一些。

4)《筭數書》中的題目以引語“今有”作爲起首者有合分、出金1、賈鹽、挐脂1、粟米并(第2條)、米粟并等6條,6個題目,約占以“幾何”發問的題目中的。它們與上一種的區別在於“有”前加“今”字。“今”,猶“若”,表示假設。《孟子·梁惠王下》:“今王與百姓同樂,則王矣。”[20]它們的産生或許比上一種稍晚一些。以“今有”作爲引語提出的數學問題,不一定來源於現實的生産與生活,可以是數學工作者爲了某種需要,根據數學法則設計的。

正是這第(4)種方式,即以“今有”起首,以“幾何”發問,成爲後來中國傳統數學的問題的提出與發問的一般方式。“今有”與“幾何”逐漸演變爲數學家們慣用的規範術語。《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》等在表述一個數學問題時,都是以“今有”起首,絕大多數以“問……幾何?”發問,少數以“問幾何……?”發問。比如《九章算術》方田章方田術第1個例題:

    今有田廣十五步,從十六步。問:爲田幾何?[21]

便是以“問……幾何?”發問。《九章算術》均輸章“犬追兔”問:

        今有兔先走一百步,犬追之二百五十步,不及三十步而止。問:犬不止,複行幾何

步及之?[22]

它們與《筭數書》中第3類第(4)種方式完全一致。而這種以“今有”做引語,以“幾何”發問者,在《筭數書》總共81個題目中占不足

 

 

問題答案的表示

《筭數書》的答案的引出方式也多種多樣,相當複雜,大體有以下4種:

1.答數前沒有任何引語,直接給出答案者有14條,25個題目:

        約分、徑分、取枲程、粟米、除、鄆都、芻、旋粟、囷蓋、圜亭、井材、啓從2、少廣9、裏田3

如“芻”條的題目:

        芻童及方闕,下廣丈五尺,袤三丈;上廣二丈,袤四丈;高丈五尺。積九千二百五十尺。

2.以“曰”做引語給出答案者有31條,32個題目:

合分、出金2、女織、金賈、舂粟、傳馬、羽矢、桼錢、繒幅、yin桼、程竹、醫、

賈鹽、挐脂、秏租、租誤券、粟求米、米求粟、米粟、負炭、盧唐、羽矢、行、米出

錢、方田、以圜材方、以方材圜、圜材、啓廣、啓從、大廣。

如“合分”條中的題目 = ?其答案表示爲:

曰:二錢六十分錢五十七。

3.以“得”做引語給出答案者有3條,10個題目:

徑分1*、共買材、秏8

如“徑分”條的第2題:

        五人分七錢少半、半錢。人得一錢卅分錢十七。

4.以“得曰”做引語給出答案者有13條,14個題目:

狐出關、狐皮、租、負米、銅秏、婦織、息錢、稅田、挐脂、取程*2、粟米

分錢、米出錢。

如前已引出的“狐出關”條的題目,其答案表示爲:

        得曰:犬出十五錢七分六,狸出卅一錢分五,狐出六十三錢分三。

其中以“曰”做引語給出答案者最多,接近《筭數書》中能辨認的條目和題目的一半。其次是沒有任何引語及以“得曰”做引語者,兩者的條目相當。值得注意的是,《筭數書》中沒有一個題目使用“荅曰”給出答案的。我們知道,後來《九章算術》等算經中數學問題的答案都在問題之後用“荅曰”引出。“荅曰”成爲中國傳統數學問題給出答案的標準引語。

 

《九章算術》對中國傳統數學表示方式的規範化

綜上所述,《筭數書》中數學術語的表示方式十分繁雜,沒有同一的格式:名數分數的表示方式有26種,除法的表示方式有719種,數學問題的起首方式有4種,發問方式有3種,問題答案的表示方式有4種。其中名數分數、實如法、數學問題的起首與發問方式,《九章算術》與之相同者,在《筭數書》中所占分量界於之間。而兩者的問題答案的表示方式相同者爲0   

人們自然要問,《筭數書》中分數、實如法、問題的起首、發問與答案如此紛雜的表述方式,特別是《九章算術》與之不同的那些方式,是先秦數學固有的呢,還是原簡中有舛誤?不能完全排除《筭數書》在傳抄過程中出現舛誤的可能性。但是,要說《筭數書》與《九章算術》不同的表示方式都是舛誤,或大部分是舛誤,是不可能的。以分數爲例,《筭數書》中前5種方式占的分量超過,採用第2類第(1)種方式的達28條之多,達55%;採用第1類第(1)種、第2類第(2)種者分別爲8條、6條,與第2類第(3)種方式,即《九章算術》與之相同的方式的條目數相當。再看除法的表示,第2類第(2)種方式有10條,第4類達20條,第5類也有6條。顯然,出現這麽多舛誤是不可思議的。將的表示方式看成準確無誤,而將的表示方式看成舛誤,於理不通;而占表示方式的36%55%的同一表示方式更不可能是舛誤。因此,我們認爲,《筭數書》中關於分數、除法、問題的起首、發問和答案的各種各樣的表示方式是先秦數學所固有的;起碼,同一表示方式有數條、十幾條、甚至幾十條例證的情形肯定是先秦數學所固有的,而絕非舛誤。換言之,《筭數書》數學術語的紛雜的表示方式反映了前《九章算術》時代中國傳統數學的真實情況,是極爲寶貴的原始資料。有的學者以《九章算術》的分數、實如法的表示方式爲模式,改動《筭數書》,將《筭數書》的紛雜的表示方式統一於《九章算術》的模式,[23]是不合適的。因爲這樣做,篡改了反映先秦數學真實狀況的極爲寶貴的原始資料,當然也就抹殺了從先秦到西漢初年中國數學術語的重大轉變,使人們看不到中國傳統數學的表達方式的發展演變過程,看不到《九章算術》規範中國傳統數學術語的巨大貢獻。

自唐初李淳風等編定十部算經一千多年以來,一直沒有先秦數學著作傳世,從事中國數

學史研究的人無不對這一現象深表遺憾。《筭數書》的出土,填補了這一巨大空白。其中數學術語的紛雜的表示方式,不僅絕大多數不是舛誤,而且是研究先秦數學的極其寶貴的第一手原始資料。據此,就可以得出一些有意義的初步結論。

首先,《筭數書》使我們首次切實瞭解了先秦數學的巨大成就。這使我們認識到,中國傳統數學的第一個高潮,不是開始於編定《九章算術》的西漢,而是在先秦。張蒼、耿壽昌編定《九章算術》,只是這個高潮的總結。這對我們重新認識和架構中國數學史,尤其是先秦數學史,提供了決定性的資料。

第二,《筭數書》中數學術語表示方式的紛雜,及其他一些佐證(比如,《筭數書》的術文有若干重復,內容中有不少自相矛盾之處,等等),說明《筭數書》時代或其前,亦即先秦時期,存在著不止一部數學著作,而《筭數書》不是一個人撰著的或主持編定的系統性著作,而是摘編於若干不同作者的數學著作,甚至是不同時代的著作。[24]

第三,爲劉徽關於《九章算術》的編纂過程的論述提供新的佐證。但是,認爲《筭數書》是《九章算術》的前身的看法,證據是不足的。這種看法只有在數學著作都是單傳的情況下,即在《九章算術》以前,只有《筭數書》一部數學著作的情況下,才有可能(注意,也只是可能!)成立。這種看法是先驗地假定《筭數書》是《九章算術》的前身,然後從兩者中找例證。事實上,兩者只有極少幾條的方法與例題完全相同,而大量的內容是方法基本相同而例題不同。《筭數書》與《九章算術》有大量相同的數學成就,只能說明這些成就是先秦數學家的共同的知識,不足以證明前者是後者的前身。而大量的方法相同而例題不同,說明前者不是後者的前身。

更重要的,《筭數書》所反映的先秦時期數學術語表示方式的多樣性,是一個不爭的事實。這一方面是數學早期發展的必然現象。另一方面,諸侯林立,列國紛爭,諸子辯難,百家爭鳴,全國各地語言相左,文字不同,數學術語不可能統一,使數學術語表示方式紛雜的現象長期保持下來。各種不同的表示方式的産生,有先有後,有早有晚,但是,《筭數書》表明,這些不同的表示方式大都存續到秦與西漢初年。秦漢在社會體制、事功、疆域、物質文明和思想文化等方面爲中國作爲一個統一的國家,爲中華民族的文化心理結構,爲中國傳統科學技術的基本框架、形態和風格,奠定了穩固的基礎。數學作爲科學文化的一個重要方面,當然亦是如此。秦始皇統一中國,隨後“車同軌,書同文”,統一了全國的文字和度量衡,但是,秦朝短命,又焚書坑儒,不重視學術研究,當時來不及也不可能統一、規範數學術語。《筭數書》與《九章算術》證明,張蒼、耿壽昌整理、編定《九章算術》時,才完成了數學術語的統一與規範化。他們統一了分數的表示,選取先秦固有的一種方式,將非名數分數  統一表示爲“b分之a”,將名數分數 m 尺表示爲“mb分尺之a”。他們統一了除法的表示,選取先秦的一種固有的方式,先指明“法”,再指明“實”,最後,對抽象性的術文,說“實如法而一”或“實如法得一”,對非抽象性的具體運算,說“實如法得一尺(或其他單位)”。他們以先秦數學中已有的一種方式統一了問題的起首與發問,對問題的起首,一般用“今有”,同一條術文有多個例題時,自第2個題目起用“又有”,而對發問,則用“問:……幾何?”或“問:……幾何……?” 對問題的答案,先秦數學是不是有“荅曰”的方式,不得而知,張蒼等統一採用“荅曰”來表示。《九章算術》統一、規範數學術語的意義非常重大,它標誌著中國傳統數學發展到了一個新的階段。它規範了中國傳統數學的術語。此後直到20世紀初中國傳統數學中斷,中國數學著作中,分數、除法、答案的表示一直沿用《九章算術》的模式,數學問題的起首與發問方式,唐以後有的著作雖有變化,但都是“今有”與“幾何”的同義語。  

  


 

* 本文是在20028月在国际数学家大会数学史卫星会(西安)、20033月第三届中国科技典籍国际学术研讨会(德国图宾根)上的报告,其研究得到中国国家自然科学基金资助。资助课题:《〈筭数书〉与先秦数学研究》,批准号:10171107  载《中国历史文物》2003年第3期第28~38页。

[1] 《九章算術》,郭書春滙校。瀋陽:遼寧教育出版社,1990年。此書即將修訂再版。

[2] 《筭數書》,見:江陵張家山漢簡整理小組,《江陵張家山漢簡〈算數書〉釋文》,《文物》,2000年第9期,第78~84頁。郭書春,《〈筭數書〉校勘》,《中國科技史料》,第22卷第3期,第202~219頁。本文中所引《筭數書》之文字,凡未加說明的,均用後者。

[3] 彭浩:《中國最早的數學著作〈算數書〉》,《文物》2000 年第9期,第85~90頁。

[4] 《九章算術》,郭書春譯注,遼寧教育出版社,1998年,第9-24頁。

[5] 此爲《筭數書》的小標題名。下同。

[6] 同注1,第183頁。

[7] 同注1,第295頁。

[8] 題名有上角有*者,系筆者作了校勘。

[9] 同注1,第237~238頁。

[10] 同注1,第237頁。

[11] 這裏實際上只涉及36條,因爲有5條重出。然而重出者有2種表示方式,故重復計算。

[12] 這裏實際上只涉及44條。除了第2類重出5條外,第1類與第2類還重出2條。亦因爲系2類表示方式,亦重復計算。

[13] 拙作《〈筭數書〉校勘》誤校,今恢復原文。又,引文略去答案,下同。

[14] 《筭數書》中“除”、“鄆都”、“芻”、“旋粟”、“囷蓋”、“圜亭”、“井材”等有關體積的題目,以及“粟求米”、“粺毇等條中的題目,除數都是常數,沒有稱爲“法”,不在討論之列。對這類除數,《九章算術》也沒有稱爲“法”。

[15] 此條術誤,不引。

[16] 郭書春.古代世界數學泰斗劉徽.濟南:山東科學技術出版社,1992年,第87-90頁。繁體字修訂本.臺北:明文書局,1995年,第85-88頁。

[17] 條目後的阿拉伯數字指此條所含該種表述方式的題目數,下同。

[18] “取程”條中有3個題目,釋文中有2個題目以“幾何”發問。第3個題目未以“幾何”發問,《〈筭數書〉校勘》一文誤補,今恢復原文。

[19] “行”條以“問何日初行”發問,權歸此類。

[20] 《孟子·梁惠王下》,《十三經註疏》,中華書局,1980年,第2647頁。

[21] 同注1,第181頁。其標點根據修訂本。

[22] 同注1,第329頁。其標點根據修訂本。

[23] 彭浩:《張家山漢簡〈算數書〉注釋》,科學出版社,20017月;蘇意雯等:《〈算數書〉校勘》,《HPM通訊》(臺灣師大),2000年第11期;郭世榮:《〈算數書〉勘誤》,《內蒙師大學報》(自),2001年第3期。此三文都以《九章算術》爲模式改動了《筭數書》的某些分數表示。前者還以《九章算術》爲模式補出了若干“法”、“實”或“實如法”。

[24] 鄒大海:《〈算數書〉初探》,《自然科學史研究》,2001年,第20卷第3期;郭書春:《試論〈算數書〉的理論貢獻與編纂》第9屆國際中國科學史會議(香港,2001.10)論文,見《法國漢學》第六輯,中華書局,2002年,第505-537頁。