試論《算數書》的理論貢獻與編纂*

 

中國科學院自然科學史研究所   郭書春

 

 

                 

20世紀80年代在湖北江陵張家山漢墓中出土的《算數書》是秦代或先秦的作品,是我們現在所知道的中國傳統數學中最早的著作。它內容寬泛、深刻,雖遜於《九章算術》,卻遠超過許多重要的已知的數學著作。本文認爲,《算數書》有40多條抽象性術文,約佔全書的三分之二,在數學理論上作出了相當大的貢獻;《算數書》中的表達方各種各樣:問題的提出方式有2421種,答案的表述有4種,術文與問題的關係有510,分數的表示有26種,一題數問的分數表示有2種,法、實及實如法而一的表示有410種。此外,《算數書》有些內容重復,有些內容互相矛盾,不能自洽。因此,《算數書》不是一部系統性著作,而是從已有的幾部數學著作中摘錄撮編而成的。本文考察了《算數書》與《九章算術》等數學經典的關係,指出《算數書》有少數術文、題目與《九章算術》類似或相同,說明它們的一少部分的母本有血緣關係。然而,兩者大部分不同,因此,《算數書》不可能是《九章算術》的前身。

關鍵詞:算數書(A Book of Arithmetic)、九章算術(Nine Chapters on Mathematical

Procedures)、中國傳統數學(Chinese Traditional Mathematics)、數學理論(Mathematical Theories

 

    20世紀80年代在湖北江陵張家山漢墓出土的《算數書》[1]是秦或先秦的作品,是我們現在所知道的中國傳統數學中最早的著作。它的內容寬泛、深刻,雖遜於《九章算術》[2],卻遠遠超過許多重要的已知的數學著作,在中國傳統數學史上佔有無與倫比的地位。對《算數書》的數學內容,有的學者已做過探討[3],筆者也撰文呈陋見[4]。本文試圖探討《算數書》的理論貢獻,數學問題和數學術語的表述方式,並進而探討《算數書》的編纂,以及它與《九章算術》的關係。

 

一、《算數書》的理論貢獻

 

我們首先探討《算數書》的理論貢獻。爲此,我們必須考察它的術文。

《算數書》有69個標題,能夠識別的術文100條。其中既有一些算草性質的術文,也有大量抽象性的術文。我們感興趣的自然是後者。這些抽象性術文按抽象程度高低和應用範圍大小可以分成兩類。

第一類是非常概括抽象、嚴謹,並且應用相當廣泛的運算法則。這裏有三種情形。

1術文單獨立條,條名即是術名,本條中沒有例題,但是,隨後的條目往往是其例題。以二條“少廣”爲例:

少廣  求少廣之術曰:先直廣,即曰:下有若干步,以一爲若干,以半爲若干,

以三分爲若干,積分以盡所求分同之,以爲法。即耤直田二百卌步,亦以一爲若干,

以爲積步。除積步如法,得從一步。不盈步者,以法命其分。 

少廣 廣一步、半步。以一爲二,半爲一,同之三,以爲法。即值二百卌步,亦

以一爲二。除如法,得從一步,爲從百六十步。因以一步、半步乘。  下有三分,以

一爲六,半爲三,三分爲二,同之十一。得從百卅步有十一分步之十,乘之田一畝。

    下有四分,以一爲十二,半爲六,三分爲四,四分爲三,同之廿五。得從百一十五

步有廿五分步之五,乘之田一畝。  下有五分,以一爲六十,半爲卅,三分爲廿,四

分爲十五,五分爲十二,同之百卅七。得從百五步有百卅七分步之十五,乘之田一畝。 

下有六分,以一爲六十,半爲卅,三分爲廿,四分爲十五,五分爲十二,六分爲十,

同之百卌七。得從九十七步有百卌七分步百卌一,乘之田一畝。  下有七分,以一爲

四百廿,半爲二百一十,三分爲百卌,四分爲百五,五分爲八十四,六分爲七十,七

分爲六十,同之千八十九。得從九十二步有千八十九分步之六百一十二,乘之田一畝。 

下有八分,以一爲八百卌,半爲四百廿,三分爲二百八十,四分爲二百一十,五分

爲百六十八,六分爲百卌,七分爲百廿,八分爲百五,同之二千二百八十三以爲法。

得從八十八步有二千二百八十三分步之六百九十六,乘之田一畝。  下有九分,以一

爲二千五百廿,半爲千二百六十,三分爲八百卌,四分爲六百卅,五分爲五百四,六

分爲四百廿,七分爲三百六十,八分爲三百一十五,九分爲二百八十,同之七千一百

廿九,以爲法。得從八十四步有七千一百廿九分步之五千九百六十四,乘之成田一畝。

   下有十分,以一爲二千五百廿,半爲千二百六十,三分爲八百卌,四分爲六百卅,

五分爲五百四,六分爲四百廿,七分爲三百六十,八分爲三百一十五,九分爲二百八十,十分爲二百五十二,同之七千三百八十一,以爲法。得從八十一步有七千三百八十一

分步之六千九百卅九,乘之成田一畝。

顯然,下一條“少廣”的9個題目是上一條“少廣”中的“少廣術”的應用。屬於這類情形的還有:

分乘分術(“分乘”條),隨後的“乘”條中大量分數乘法是其應用。

  術(“石  ”條),隨後的“賈鹽”條即是其例題。

誤券術(“誤券”條),3道術文,隨後的“租誤券”條即是其應用。

“粺毇術”[5](“粺毇”條),15道術文,無隨後應用的條目或例題。

“粟求米術”(“粟求米”條),5道術文,隨後的“粟求米”、“米求粟”條分

引用其中一道。

2術、題在同一條中,條名即術名。比如“合分”條:

合分  合分術曰:母相類,子相從;母不相類,可倍、倍,可三、三,可四、四,

可五、五,可六、六,七亦輒。倍、倍,及三、四、五之如母母相類者,子相從。

其不相類者,母相乘爲法,子互乘母,并以爲實,如法成一。 今有五分二、六分三、十

分八、十二分七三分二,爲幾何?曰:二錢六十分錢五十七。其術如右方。 有曰:母

乘母爲法,子羨乘母爲實,實如法而一。  其一曰:可十、十,可九、九,可八、八,可七、七,可六、六,可五、五,可四、四,可三、三,可倍、倍,母相類止。母相類,子相從。

4道術文,1道例題。4道術文中兩兩重復。屬於術、題在同一條中,條名即術名的還有:

    約分術(“約分”條),有3道術文,1道例題。其中有2道術文相同。  

    “徑分術”(“徑分”條),有2道術文,2道例題。

    “羨除術”(“羨除”條),有1道術文,1道例題。

    “鄆都術”(“鄆都”條),有1道術文,1道例題。

    “芻童術”(“芻”條),有1道術文,1道例題。

    “旋粟術”(“旋粟”條),有1道術文,1道例題。

    “囷蓋術”(“囷蓋”條),有1道術文,1道例題。

    “圜亭術”(“圜亭”條),有1道術文,1道例題。

    “井材術”(“井材”條),有1道術文,1道例題。

    “以圜材方術”(“以圜材方”條),有1道術文,1道例題。

    “以方材圜術”(“以方材圜”條),有1道術文。1道例題。

    啓從術(“啓從”條),有3道術文,其中2道分別是關於整數的與分數的,各有1

道例題。還有1道術文是分數啓從術的逆運算,沒有例題。

    大廣術(“大廣”條),有1道術文,1道例題。

    里田術(“里田”條),有5道術文,2道例題。其中有4道術文重復。

3術、題在一條中,條名爲題名,而不是術名。比如“出金”條,“出金”是此條中題目的名稱,其術文有2條,分別對應於《九章算術》的“減分術”與“課分術”[6]

出金  有金三朱九分朱五。今欲出其七分朱六,問餘金幾何?曰:餘金二朱六十三分朱卌四。 其術曰:母相乘也爲法,子互乘母,各自爲實,以出除焉,餘即餘也。以九分朱乘三朱,與小五相 今有金七分朱之三,益之幾何而爲九分七?曰:益之六十三分朱廿二。 術曰:母相乘爲法,子互乘母,各自爲實。以少除多,餘即益也。

屬於這類情形的還有:

    乘分術(“相乘”條),1道術文,與“分乘”條的“分乘分術”基本相同。其前的

分數乘法表是其應用。

        “贏不足術”(“分錢”條、“方田”條),各有1道術文,基本相同。各有1道例

題。

這第一類術在表述上,大多數比《九章算術》古樸;有的,比如《算數書》的贏不足術,

不如《九章算術》的盈不足術[7]那麽嚴謹;有的,比如“粟求米術”,只是《九章算術》的今有術[8]的應用之一;人們還可以挑出一些不足。但是,這第一類術文就其抽象程度與應用廣泛,以及在當時的數學中所起的作用而言,與《九章算術》的若干抽象性術文是不分軒輊的。而且,有的術文文字與《九章算術》基本一致。比如,《九章算術》的“合分術”[9]

合分術曰:母互乘子,以爲實。母相乘爲法,實如法而一。

它與《算數書》“合分術”中處理“其不相類者”的情形的術文基本一致。總之,《算數書》的這類術文與《九章算術》一樣,可以稱爲術文統率例題的形式[10]

第二類是關於一種問題的抽象性術文,比如“狐皮”、金賈、“舂粟”、“息錢”、

“取枲程”、“粟求米”、“米求粟”、“粟米”、“羽矢”、“絲練”等條。這些條目中問題的術雖不如上一類術文應用那麽寬泛,但是,其術文也不像《九章算術》卷三、卷六兩卷的後半卷及卷九的解勾股形的問題,以及《孫子算經》[11]的問題那樣,都是具體的數字運算,而是具有相當程度的抽象性。以《算數書》的“息錢”問題與《九章算術》的“貸人千錢”問[12]爲例。《算數書》的“息錢”問是:

息錢  貸錢百,息月三。今貸六十錢,月未盈十六日歸,計息幾何?得曰:廿五分錢廿四。術曰:計百錢一月積錢數,以爲法。直貸錢,以一月百錢息乘之,有以日數乘之爲實。實如法得一錢。

《九章算術》卷三“貸人千錢”問是:

今有貸人千錢,月息三十。今有貸人七百五十錢,九日歸之,問息幾何?曰:六錢四分錢之三。 術曰:以月三十日乘千錢爲法。以息三十乘今所貸錢數,又以九日乘之,爲實。實如法得一錢。

顯然,兩者是同一種問題,不過所假設的各種數字都不同,因此是不同的題目。同時,《九章算術》的術文只是此特定題目的具體數字的運算細草,解同類問題只能照葫蘆畫瓢;《算數書》的術文卻比前者抽象,對已知“月百錢息”的任何利息問題都是適應的。

《算數書》中還有一條分數運算性質的論述,這就是“增減分”條:

    增減分  增分者,增其子;減分者,增其母。

此條的意義不難理解。它之後的“分當半者”條是其具體應用。“分當半者”是:

        分當半者  諸分之當半者,倍其母;當少半者,三其母;當四分者,四其母;當五

分者,五其母;當十、百分者,輒十、百其母。如欲所分,雖有百分以此進之。

以上兩類情形,即具有抽象性術文及其應用的部分,連同“增減分”條及其應用,涉及到《算數書》69條中的45條,接近三分之二;考慮到其中“相乘”、“乘”、“粺毇”、“少廣”等條目都比較長,就篇幅而言,這個比例還要高一些。這些內容類似於《九章算術》的主體部分,即採取術文統率例題的形式,充分反映了《算數書》對數學理論的重視和取得的重大成就。在《九章算術》中,採取抽象性術文統率例題的形式的部分約佔全書的80%[13]。《算數書》的比例雖稍低於《九章算術》,卻是後來其他數學著作所無可比擬的。比如說,《孫子算經》中幾乎找不到任何抽象性的術文;《張丘建算經》的抽象程度比《孫子算經》高一些,但大都是上述《算數書》第二類的情形,幾乎沒有第一類的術文。

將一類各種不同的數學問題,抽象成一類數學模型,進而歸納出抽象性的術文,這是深刻的數學理論創造。先秦數學家陳子針對榮方無法理解某些數學方法,指出他“之於數未能通類”。他進而說:

夫道術,言約而用博者,智類之明。問一類而以萬事達者,謂之知道。今子所算術之術,是用智矣,而尚有所難,是子之智類單。夫道術所以難通者,既學矣,患其不博;既博矣,患其不習;既習矣,患其不能知。故同術相學,同事相觀,此列士之遇智賢不肖之所分。是故能類以合類,此賢者業精習智之質也。[14]

筆者曾經認爲,“這種思想實際上規範了中國傳統數學的形式與特點。”[15]這種看法是片面的。倘若陳子時代根本不存在“言約而用博”,“問一類而以萬事達”的數學術文,不存在“類以合類”的數學著作,陳子是不可能先於人們所掌握的數學知識的實際做出如此深刻的概括來的。因此,應該說,陳子的話首先是“當時存在的數學的總結”[16],然後才是對後來的中國傳統數學的形式與特點起了規範作用。當時存在的數學,既包括《九章算術》在先秦以“九數”爲主體的某種形態,也包括《算數書》所源自的各種數學著作。《算數書》含有的若干“問一類而以萬事達”的抽象性術文,就是對不同類的數學模型的解法進行歸納、抽象的結果,表明創造《算數書》數學知識的數學家在“通類”的基礎上,進行了“類以合類”的艱苦工作。另外,《算數書》有的同一條目中,既有解決同一類問題的不同的抽象性術文,也有相同或基本相同的抽象性術文。將它們歸到同一條下,無疑是通類、歸類的成果。[17]因此,就數學理論所達到的高度而言,在後來的現存漢唐算經中,除《九章算術》及其劉徽注之外,可以說,再無居《算數書》之右者。

一談到古代的數學理論,人們往往只想到古希臘數學,尤其是它的公理化體系,並且以此爲標準來評判其他文化傳統的數學。凡是沒有形成公理化體系的,就被認爲沒有理論。因此,即使是對中國古代數學成就十分推崇的學者,也多認爲“在古代中國的數學思想中,最大的缺點是缺少嚴格求證的思想”,中國古代數學中沒有形式邏輯,尤其沒有演繹邏輯。“在從實踐到純知識領域的飛躍中,中國數學是未曾參與過的”[18],因而沒有數學理論。筆者認爲,劉徽的《九章算術注》全面證明了《九章算術》的公式、解法,它是以演繹邏輯爲主的[19]。那種關於中國古代數學沒使用演繹邏輯的說法,是沒有讀或者沒有讀懂劉徽《九章算術注》的反映。另外,即使是《九章算術》,儘管它沒有數學推理和證明,是數學理論研究方面的極大缺憾,但是,也不能說沒有理論。“理論”是個歷史的概念。在遠古,人們只認識3個蘋果、3個梨的時候,有人抽象出“3”,它不僅可以表示3個蘋果,3個梨,還可以表示3個別的什麽東西,這就是了不起的理論貢獻。《九章算術》是相當成熟、高級的數學著作,它不僅抽象出若干數學概念,而且還在許多問題之上,根據不同的類型,總結出若干抽象性的具有普適性的命題,即公式和解法,稱爲“術”,在許多領域達到了古希臘數學所未達到的高度,躍居世界的前列。這些抽象的具有普適性的術,當然是數學理論。以這樣的觀點審視《算數書》,那麽,它的許多抽象性術文是數學理論研究的成果。《算數書》又給出了分數的性質的“增減分”的命題,也是數學理論研究的體現。這些都是中國先秦時期的高度的數學理論水平的一個重要側面。

 

二、《算數書》的數學問題和數學術語的表達方式

 

自《九章算術》起,中國傳統數學的數學問題的表述和數學術語的表達方式,形成了固定的模式。《算數書》的情形如何呢?我們從數學問題的表述,分數的表示,答案的表示,術文與問題的關係,法、實與實如法而一的表示等五個方面討論這個問題。

 

(一)   題的表述

《九章算術》及其以後的數學著作,在表述一個數學問題時,大都採用“今有……。欲(或今)……,問……幾何?”的方式。《算數書》則沒有統一的模式。概括說來,《算數書》提出數學問題的方式有2類。

1不以“幾何”發問,採取直敘方式者。

   取程……。今……,欲求……。(秏租、取程[20]

……。今有……,欲……。(共買材)

今有……,……。(里田)

……,爲……求……。(啓從3[21]

   ……,……(約分、徑分2、秏8、粟米、除、鄆都、芻、旋粟、囷蓋、圜亭、井

材)

   ……  (少廣9

這裏共635個題目。其中最後一種,“少廣”條9個題目,是將題設與術結合在一起敍述的,而沒有任何題設、所求、答案與術的提示文字。這類問題的提出可能相當早,或許是中國傳統數學問題的最原始狀態。

2以“幾何”發問者。

今有……,爲幾何?(合分)

今有……。問……幾何?(挐脂)

今有……。當爲……幾何?(賈鹽、粟求米、米求粟)

   今有……。……幾何而爲……?(出金)

有……。今……,問……幾何?(出金、婦織)

有……。問……幾何?(挐脂、米粟、粟米*[22]

        ……。……。問……幾何?(狐出關、狐皮、女織、負米、 桼、分錢、大廣*

   ……。今(有)……,問……幾何?(租、金賈、舂粟*、銅秏、傳馬、羽矢、桼

錢、繒幅、息錢、租誤券、負炭、米出錢2

   ……,……幾何?(方田、以圜材方、以方材圜、圜材、井材

   ……。今……,問幾何……?(稅田、行)

   ……,爲……幾何……?(啓廣)

   取程……。今……,問幾何……?(取程2、取枲程)

   程……。問幾何……?(取程)

   程(曰)……。今(欲)……,……幾何?(程竹、醫*、盧唐、羽矢)

這裏共14種,都以“幾何”發問。這又可以分爲各項情形。

1)以“今有”起首,以“幾何”發問。有4種方式,有6個題目,在《算數書》中的分量相當小。但是,這項方式成爲後來中國傳統數學中表述數學問題的標準方式,《九章算術》及其後來的著作都採用這項方式。

2)以“有”字起首,以“幾何”發問。有2種方式,5個題目。它與第(1)項的區別只是沒有“今”字。大約是比第(1)項稍早的一種表述方式。

3)題設前沒有任何提示的詞語,以“幾何”發問。有5種方式,28個題目,在《算數書》中所佔比重最大。其中,“……。今有……,問……幾何”的方式的題目最多,有13個;“……。……,問……幾何”的方式的題目次之,有7個。兩者的區別僅在於後者的第2句話沒有“今有”2字,實際上是一種方式。

4)以“程”或“取程”起首,以“幾何”發問。有4種,8個題目。“程”的本義是度量。《說文解字》:“十發爲程,十程爲分,十分爲寸。”[23]“程”後來引申爲標準、法則的意思。《荀子·致仕》:“程者,物之准也。”[24]《九章算術》商功章中“功程積實”、“冬程人功”、“春程人功”、“夏程人功”、“秋程人功”、“程功尺數”、“程粟”等[25],都是指人功與粟米的標準量。《算數書》中的“程”也是標準的意思,“取程”與“ 秏租”條中的“程”都是指禾粟曬乾後的標準量,“取枲程”指大麻的圍束曬乾後的標準量,“程竹”是指用竹做竹簡的標準量,而“醫”條中的“程” 則指對醫師治病的報酬的規定,“盧唐”、“羽矢”等條中的“程曰”則是用竹做飲器、矢的標準工作量的規定,“程禾”則規定了粟米互換的標準。這些標準是由各諸侯國,或某級政府規定的,作爲計算賦役、租稅、勞動報酬、官方工場的工作量,以及粟米互換的依據。在“學在官府”,私學沒有産生或尚不發達的古代,比如三代或春秋時期,這類問題就應該産生了,並且是當時提出數學問題的主要方式。也就是說,這項表述方式應該最先出現。實際上,“程曰”、“取程”在題目中的作用與後來的“有”、“今有”的作用是一樣的。“今”猶“若”,表示“假設”。《孟子·梁惠王下》:“今王與百姓同樂,則王矣。”[26]“程”與“今有”(或“有”)兩者都是“假設”,其區別在於前者是官方或權威部門的規定,後者是當事人的約定。

我們可以大體可以推測這幾種表述方式産生的先後順序。首先是“學在官府”的時代,人們根據官方或權威部門的有關規定,以“程”起首提出若干數學問題。後來,隨著民間活動的增加,以及“禮崩樂壞”,學術下移,民間對人們生産、生活中的某些活動的數量關係作了一些約定,成爲數學家提出數學問題的依據。爲了與官方的規定相區別,表示其民間性質,在敍述這類約定時,當然不能加“程”字,也不做任何別的提示。再後來,民間的數量約定越來越多,所施行的範圍越來越大,爲強調其權威性或其約束性,便在這類約定前加“有”字,表示其確定的,可以計數的。最後,人們在“有”前加“今”字,變成“今有”。 “今有”逐漸演變成爲統一的、規範的表述方式。以“今有”起首提出數學問題,說明這類問題不一定來源於現實的生産與生活,也可以是數學工作者因於某種需要,根據數學法則設計的。因此,“今有”的使用,不僅是數學問題表述術語的改變,更重要的,是數學發展到一定階段,數學方法離開現實生産、生活的原型進行抽象的産物,是有重大意義的。總之,上述四項表述方式産生的順序應該是:

    “程曰……。今……,問……幾何?”

        →→“……。今……,問……幾何?”

        →→“有……。今……,問……幾何?”

        →→“今有……。問……幾何?”

不過,由於“程”帶有官方規定的性質,在以“今有”規範數學問題的提出之後,它仍然以某種形式保留了下來。《九章算術》商功章的“冬程”、“春程”、“夏程”、“秋程”等“功程”是這類例子,均輸章的“程傳委輸”也是這類例子。   

    以上2類共有21種不同的表述方式,涉及到72個題目。在數學問題的這兩類表述方式中,直敘的方式總地說來要比以“幾何”發問的方式早,但是兩種方式不可避免地會有交叉。

 

                              (二)答案的表示

《九章算術》等漢唐數學著作的答案都在問題之後用“荅曰”引出。《算數書》答案的引出方式也多種多樣,相當複雜。具體說來有以下各種:

1.  沒有任何引語,直接給出答案者有13條,25個題目:約分、徑分、粟米、除、

鄆都、芻、旋粟、囷蓋、圜亭、井材、啓從3、少廣9、里田3

2.  用“曰”引出答案者有30條,31個題目:合分、出金2、女織、金賈、舂粟、傳馬、羽矢、桼錢、繒幅、 桼、程竹、醫、賈鹽、挐脂、秏租、租誤券、粟求米、米求粟、米粟、負炭、盧唐、羽矢、行、米出錢、方田、以圜材方、以方材圜、圜材、啓廣、大廣*

3.用“得曰”引出答案者有13條,14個題目:狐出關、狐皮、租、負米、銅秏、

婦織、息錢、稅田、挐脂、取程*2、粟米、分錢、米出錢。

4.用“得”引出答案有4條,11個題目:徑分*、共買材、取枲程*、秏8

表示方式有4種之多。而其中用“曰”引出答案者最多,達3031個題目,約佔《算數書》中能辨認的題目的一半。其次是沒有任何引語,直接給出答案者,有1325個題目。再次是用“得曰”引出答案者,有1314個題目。最後是用“得”引出答案者,有411個題目。值得注意得是,沒有一個問題使用《九章算術》及其後的著作給出答案的標準方式“荅曰”者。不言而喻,這反映了張蒼等在《九章算術》中規範數學著作的答案模式之前的情況。

 

(三)術與問題的關係

魏晉以後的數學著作中,“術”通常都是置於問題與答案之後,幾乎沒有例外,而且,“題”與“術”大都採取一一對應的關係。許多學者說《九章算術》也是如此,這是一個誤解。實際上,《九章算術》中術與問題的關係,有各種不同的方式:或者在幾個問題前提出總術,那麽,問題中又有“術”,這種“術”是問題前的總術的應用;或者在幾個問題後提出一條或幾條總術,那麽問題中不再有“術”,只有答案;也有的是每個問題之後都有一條答案與一條“術”[27]。就是說,在《九章算術》中,“題”與“術”並不是一一對應的關係。《算數書》與《九章算術》十分類似,其術與問題的關係也是多種多樣的。我們可以大體歸納成如下幾

1.立立條的術。我們在第一節中已引出“少廣術”,此不贅。“少廣”條中還

有“少廣術”的逆運算。這類獨立立條的術還有:

                        

分乘                    分乘分術

                        

誤券             毋升者、券有者、券有升者

粺毇                  粟米互換15

粟求米    粟求米、粟求麥、粟求粺、粟求米毀、米求粟

絲練                    級絲求練 

6條,26種術文。

2術在前而題在後。比如“約分”條:

約分  約分術曰:以子除母,母亦除子,子、母數交等者,即約之矣。  有曰:約分術曰:可半,半之。可令若干一、 若干一。  其一術曰:以分子除母,少,以母除子,子、母等,以爲法。子、母各如法而成一。不足除者可半,半母亦半子。  二千一十六分之百六十二,約之,百一十二分之九。

先給出3道術文,後有1道例題。“里田”條也屬於這種情形,有5道術文,1個例題。《算數書》中術在前而題在後的情形共有2條,8種術文,2個題目。

3.题在諸術之間。我們在第一節已引出“合分”條,有4道術文,1道例題,例題

2術,例題後有2術。屬於此種情形的還有:

                                                         

粟求米       粟求米             1               

米求粟       米求粟             1               

《算數書》中題在諸術之間者共有3條,8條術文,3個題目。

4題在前,術在後。這裏又有各種情況:

1)一題一術。我們在第一節中引出的“息錢”條便是這種情形。此外還有:

共買材、狐出關、狐皮、女織、租、負米、金賈、舂、銅秏、傳馬、婦織、羽矢、桼錢、繒幅、 桼、稅田、醫、賈鹽、秏租、取枲程、租誤券、米粟、負炭、盧唐、羽矢、行、分錢、方田、除、鄆都、芻、旋粟、囷蓋、圜亭、以圜材方、以方材圜、圜材[28]、啓廣、大廣

共有40條,40個題目,40種術文。

    2)二題二術。我們在第一節引出的“出金”條就是這種情形。此外還有:    

        徑分、程竹、挐脂[29]、米出錢

共有5條,10個題目,10種術文。

3)三題術。只有1條,即“取程”條:

        取程  取程十步,一斗。今乾之八升,問幾何步一斗?得田十二步半一斗。術曰:八升者爲法。直一升步數而十之,如法一步。  競程卅七步,得禾十九斗七升。問幾何步一斗?得曰:減田一步有百九十七分步百七十三而一斗。  取程五步一斗,今乾之一斗一升。欲令一升得曰:減田十一分步五。術曰:以一升數乘五步,令十一而一。

此條只存二術,可能脫一術,故置此。

(4)三題四術。只有1條,即“啓從”條:

啓從  廣廿三步,爲啓從求田四畝。曰:啓從卌一步廿三分步之十七。   術曰:直四畝步數,令如廣步數,而得從一步。不盈步者,以廣命分。之,令相乘也。有分步者,以廣乘分子,如廣步數,得一步。  廣八分步之六,求田七分步之四,其從廿一分之十六。  廣七分步之三,求田四分步之二,其從一步六分步之一。  求從術:廣分子乘積分母爲法,積分子乘廣分母爲實,實如法一步。即以廣、從相乘,凡[邹大海1] 令分母相乘爲法,分子相乘爲實,實如法一。

實際上,有2道“求從術”,並各有1道逆運算術文,共4道術文。

5術。亦只有1條,即“粟米”條:

        粟米  米一、粟二,凡十斗,精之爲七斗三分升一。術曰:皆五,米、粟爲法。五米、三粟,以十斗乘之爲實。    有米、粟不知數,合粟、米精之爲米一斗,問米、粟各出幾 何?得曰:米六升四分升之一,粟三升四分升之三。術曰:直米五升,粟五升。粟五升爲米三升,米五升者八,以爲法。乃更直三升、五升, 而十之。令如法,粟、米各一升。  ……其術曰:直米、粟,五米三粟,,以爲法。米、粟,各乘之,爲實。實如法而成一。

此條只存完整的術,另二題殘。

6)九題九術。亦只有1條,即“少廣”,我們在第一節已經引出。

4類總計有49條,69道題目,70道術文。

5.二題二術,二題分居二術前後。只有1條,即“井材”條:

井材  圜材、井窌若它物,周二丈四尺 ,深丈五尺,積七百廿尺。術曰:耤周自乘,以深乘之,十二成一。  一曰:以周乘徑,四成一。積一百半,問徑幾何?

此條的第2題殘缺,故作爲二題二術。

總之,在上述62條中,涉及到74道題,114道術。它們的關係,有術文獨立列條者,有術前題後者,有題在諸術之間者,有題前術後者,有諸術在諸題之間者,等等各種不同的情形。我們在第一節中已經指出,獨立列條的諸術,緊隨其後的條目往往是它的具體應用,因此,它們應歸於術前題後的情形。又,題在兩術之間的情形,後一術通常是前一術的具體應用。如此說來,屬於“術前題後”的情形者有17條,20道題,59道術。這些術文都是抽象性術文。它們的抽象性及其與題目的關係與《九章算術》中先列出抽象性總術,再列出若干個例題的情形極爲相似。不考慮已經歸於上述情形的題、術,並且將二題分居二術前後的情形歸於這一類,那麽,“題前術後”的情形有45條,54道題,55道術。這與《九章算術》中一部分的題、術關係極爲相似。總之,《算數書》的題、術關係多種多樣,與《九章算術》相類似,而與《孫子算經》等算經都是一題一術,術在題後的情形是不同的。

 

(四)分數的表示

分數運算是中國傳統數學的重要內容和重要方法。《算數書》也不例外,在69個條目中,只使用整數運算,而沒有用到分數的只有羽矢、行、分錢、除、芻、囷蓋、井材、啓廣、里田等9條,約佔八分之一。換言之,《算數書》60個條目都用到分數或爲分數運算設置的術。《算數書》中對幾個特殊分數的表示法,如“半”表示,“少半”表示,“大半”(或“太半”、“泰半”)表示,都與《九章算術》和中國傳統數學的其它著作相同。而對一般分數,《九章算術》及其後的數學著作都有標準的表示模式。比如以“尺”爲單位的分數,通常表示成:

    mb分尺之a

傳本中偶有不是這種表達方式的,人們便認爲是舛誤,成爲校勘的對象[30]。然而,正像《算數書》中數學問題的表述方式是多種多樣的,除了(尺)在“相乘”、“乘”、“分當半者”、“徑分”等條表示成“n分(尺)”(假定以尺爲單位)外,《算數書》對於一般分數的表示方式也是五花八門。我們概述如下:

1對於非名數的分數,《算數書》只有真分數,比如分数表示方式有2     

          b(相乘、乘、合分、出金),

          b分之(約分、徑分、啓從)。   

2對於名數分數,比如以“尺”爲單位,分數m尺(m = 12,3,……)的表示方式有:

   1)“分”後無單位名稱者,共有10條,3種情況,之間稍有區別:      

        mba :狐出關、負米、金賈、粟求米、米出錢、方田、圜亭、以方材圜,

8條;

        mb分之a :盧唐,只1條,與上種的區別僅在“分”後有一“之”字;       

        mba :狐皮,只1條,其單位由上文可以看出。                                                                                   

       2)“分”後有單位名稱者,亦有3種情況,且之間稍有區別:

        mb分尺a :相乘、合分、徑分、出金、共買材、女織、租、舂粟、銅秏[31]

羽矢、桼錢、繒幅、息錢、  桼、稅田、程竹、醫、賈鹽、挐脂、取程、秏租、租誤券、

粟求米、米粟、粟米、負炭、米出錢、以圜材方,凡28條;       

        m尺有b分尺之a :婦織、取程、取枲程、秏、少廣、大廣,凡6條;

mb分尺之a :出金、粺毇、秏、粟米、旋粟、啓從、大廣,凡7條。

共有41條,遠遠超過第(1)種情形。而最多的是“mb分尺a”的表示方式,達28條,佔名數分數總條數的半數以上。這種方式與《九章算術》及其以後的數學著作的表示方式的區別在於沒有“分尺”之後的“之”字。與《九章算術》採用同樣方式的“mb分尺之a”者,即中國傳統數學中表示分數的標準模式者,僅有7條,加上與之相近的“m尺有b分尺之a”,也才13條。我們雖無法準確確定上述各種表示方式産生的先後順序,不過,“mb分尺a”的方式在“mb分尺之a”之前,大體說來是沒有問題的。從《算數書》可以看出,不管這些方式産生的是先是後,在張蒼、耿壽昌等整理《九章算術》之前,它們並存了相當長的時間。至於第(1)種的産生是在第(2)種之前,還是第(2)種的省略,值得進一步研究。

還有二點值得注意。一是在有些條中使用不同的表示方式。如,“出金”、“粟米”二條都同時使用“mb分尺a、“mb分尺之a”二種方式;“取程”條同時使用“mb分尺a”、“m尺有b分尺之a”二種方式;“秏”、“大廣”二條都同時使用“m尺有b分尺之a”、“mb分尺之a”二種方式;“粟求米”、“米出錢”二條都同時使用“mba”、“mb分尺a”二種方式。這恰恰反映了不同表示方式的並存。

二是《算數書》中有11個題目的答案是幾個分數,答案中分母分別相同。其中有8條,即“共買材”、“女織”、“婦織”、“  桼”、“秏”、“米粟”、“粟米*、“米出錢”等條,與《九章算術》一樣,自第2個分數起都重復了分母。但是,有3條,即“狐出關”、“狐皮”、“租”等條,自第2個分數起省略了分母。“狐出關”條的答案是“得曰:犬出十五錢七分六,狸出卅一錢分五,狐出六十三錢分三”,實際上分母都是7。“狐皮”的答案是“得曰:狐出十二、七十二分十一,狸出八、分九,犬出四、分十二”,分母都是72。“租”條的答案是“得曰:禾租四斗七分十二,麥租三斗分九,租二斗分二十六”,分母都是47。這種方式的題目有3個,且都很整齊,不會是脫誤。《九章算術》及其後的著作都未採取這種省略分母的方式。同時,我們還注意到,這種省略分母的條目,都屬於“分”後省略單位的情形。

 

                     (五)法、實與實如法而一

《九章算術》及其後的數學著作中有關除法的“術”一般都是先交代“法”即除數、“實”即被除數,然後,用術語“實如法而一”或“實如法得一尺(或其他單位)”表示實除以法,得到答案。並且,在《九章算術》中,一般說來,凡是抽象性的術文,大都使用前者,而具體運算的術文,大都用後者。[32]《算數書》的情況卻相當複雜。大體說來,有以下各種情形

1.只點明“法”,而未點明“實”。

(1)點明“法”:程竹,只1條。

(2)只點明“法”,說明了“實”而未以“實”名之,最後說“如法而成一”:

約分,只1條。

(3)只點明“法”,說明了“實”而未以“實”名之,最後說“(令)如法(得)

一尺(或其他單位)”:共買材、舂粟、銅秏、稅田、取程、粟米、負炭、米出錢、

少廣、少廣,凡10條。

2.只給出“實”,未點明“法”,最後說“令……而成一”:以圜材方、以方材圜,

2條。

3.給出“法”與“實”。

(1)       給出“法”與“實”,無“實如法而一”等:相乘、分乘、徑分、出金、狐

皮、負米、傳馬、醫、石  、賈鹽、租誤券、粟求米、米求粟*、米粟、粟米、盧唐、羽矢、分錢、方田、啓廣,凡20條。

(2)給出“法”、“實”,最後說“如法成一”:合分,只1條。

(3)給出“實”、“法”,最後說“如法(而)一尺(或其他單位)”:婦織、羽

矢、誤券、大廣,凡4條。

(4)給出“法”、“實”,最後說“實如法而(或得、成)一”:合分、狐出關、

      桼、取枲程、粟米、啓從,凡6條。

(5)給出“法”、“實”,最後說“實如法得(一)尺(或其他單位)”:女織、

金賈、桼錢、繒幅、息錢、挐脂、啓從,凡7條。

4.不點明“法”、“實”,最後說“令……而一”、“如……成一數”、“除……而得一”、 “令如……而得一步”:取程、秏租、絲練、啓從,凡4條。

我們對各種情況進行了某些歸納,還有410種之多,可見表現形式之紛雜。還有一條中存在幾種形式的情況。比如,“合分”條使用了第3類第(2)、(4)兩種,“取程”條使用了第1類第(3)種與第4類,“粟米”條甚至使用了三種,即第1類第(3)種、第3類第(1)、(4)種,“啓從”條也使用了三種,即第3類第(4)、(5)種與第4類。以上各種情形,有的,如第1類第(1)種等,或許有脫漏;但有的,如第3類第(3)種,達4條之多,而且與其他條目先說“法”,後說“實”相反,這裏是先給出“實”,後給出“法”,難以說有脫漏。

我們分析一下這些情形。

首先,第4類,未點明“法”、“實”的有13條,這裏實際上有6種表現形式。這可能反映了中國數學的早期“法”與“實”尚未成爲數學術語的時候人們對除法的敍述,或這種敍述的殘存反映。

其次,第2類,只給出“實”,未點明“法”的有2條,而第1類,只給出“法”,未給出“實”的有12條。這說明,“法”與“實”儘管是互相對立又互相依存的兩個概念,但是,“法”是更重要、更基本的概念。“法”的本義是準則、標準。《管子·七法》云:“尺寸也,繩墨也,規矩也,衡石也,斗斛也,角量也,謂之法。”[33]除法來源於分割一個東西,因此,首先得確定一個標準,這就是“法”。對不同數量的同一種東西,確定了“法”,就可以進行不同的除法。“法”逐漸演變爲除數。可以說,只有規定了“法”,人們才能進行除法運算。這是人們將除法規範化這個長河中的一個重要階段。

最後,第3類,“法”、“實”皆給出的有39條,超過六成。其中,只給出“法”、“實”,而無“實如法”云云者,有20條,約佔三分之一,是最多的一種。給出“法”、“實”,並說“實如法而一”、“實如法得一尺”者分別有6條與8條,也相當多。而且,這也是《九章算術》及其後來的著作所使用的兩種主要形式。不過,《算數書》在使用這兩者時,沒有《九章算術》那樣分別表示抽象性術文與具體運算術文的區別。《算數書》使用“實如法而一”的,固然有“合分術”、“啓從術”等抽象性術文,但也有“狐出關”等4條具體運算的術文。同樣,使用“實如法得一尺”的,固然大多數是具體運算,但也有“啓從術”這類抽象性術文。總之,在《算數書》中,中國傳統數學中表示除法運算的這兩種術語已經産生,並廣泛使用,然而,使用得尚不規範。

 

三、《算數書》的編纂與《九章算術》的關係

 談到《算數書》的編纂,首先應該注意到兩點:

1《算數書》內容多處重復。

(1)   標題重復,在《算數書》的69個標題中,有2條“羽矢”,2條“粟求米”,2條“少廣”。

(2)   預備知識重復,如“相乘”與“乘”二條中分數乘法算表有部分重復;粟米互換的“程禾”、“粺毇”、“粟爲米”、“粟求米”中重復很多,“粟求米”完全涵蓋了“粺毇”條的內容。

(3)   術文重復。首先是不同的條目種有同樣的術文。比如乘分術,《算數書》有兩條,分別在“相乘”條中與“分乘”條中,它們是

乘分之術曰:母乘母爲法,子相乘爲實。(“相乘”條)

分乘分術皆曰:母相乘爲法,子相乘爲實。(“分乘”條)

兩者基本相同,其區別僅在術文中前者少一“相”字,術名中後者多一“分”字。又如,“粟求米”與“米求粟”二條開頭的抽象性術文與其前“粟求米”的中的二句基本相同:

粟求米  粟求米,三之,五而一;粟求麥,九之,十而一;粟求粺,廿七之,五十而一;粟求米毀,廿四之,五十而一;米求粟,五之,三而一。

粟求米  粟求米,因而三之,五而成一。今有粟一升七分三,當爲米幾何?曰:爲米七分升六。術曰:母相乘爲法,以三乘十爲實。

米求粟  以米求粟,因而五之,三成一。今有米七分升六,當爲粟幾何?曰:爲粟一升七分升三。術曰:母相乘爲法,以五乘六爲實。

其次是一條內有重復的術文,比如“約分”條中“約分術”與“其一術”程序相同而文

字稍異;又如“合分”條有4條抽象性術文,“母相類,子相從”重復了2次,而“母不相類”時有2種處理方法,各重復了1次;“里田”條中“也”重復了2次,而1平方化頃、畝的方法,重復了3次,“廣一,從一”的題目,也重復了1次。

2《算數書》有的內容矛盾,不能自洽。首先,有的同一條的內容就矛盾。我們比較“程禾”與“粟爲米”二條:

程禾  程曰:禾黍一石爲粟十六斗泰半斗,舂之爲糲米一石,糲米一石爲糳米九斗,糳米九斗爲毇米八斗。  程曰:稻禾一石爲粟廿斗,舂之爲米十斗,爲毇、粲米六斗泰半斗。麥十斗爲  三斗。  程曰:麥、菽、荅、麻十五斗爲一石,稟毇、糳者,以十斗爲一石。

粟爲米  麻、麥、菽、荅三而當米二;九而當粟十。粟五爲米三;米十爲粺九,爲毇八。麥三而當稻粟四,禾粟五爲稻粟四

其中“程禾”條前2段“程曰”與“粟爲米”條給出的粟米互換比率中,可資比較的粟、米(糲米)、粺、糳米、毇5種化成整數分別是:

  粟米                         糳米       

“程禾”1     50      30              27      24                            

“程禾”2     60      30                      20                 

“粟爲米”    50      30      27              24   

首先“程禾”與“粟爲米”的比率矛盾:“程禾”條第一段的粟、米、毇的比率與“粟爲米”條相同,然而,爲率27者,在“程禾”條中爲糳米,在“粟爲米”條中 爲粺;“程禾”條第二段與“粟爲米”條差別更大,若米同爲30,前者粟爲60,後者爲50;前者毇爲20,後者爲24。其次,甚至“程禾”同一條中亦不能自洽:若米同爲30,粟在第1段中爲50,而第二段中爲60;毇米在第一段中爲24,而第2段中爲20,顯然矛盾。

由這兩個特點,我們自然得出這樣一個結論:《算數書》是從不同的書中摘錄而成的,而且未加以系統梳理、歸納。因爲,一部著作由於作者疏忽或水平限制,出現個別重復或無法自洽的地方,有時是難免的,比如《九章算術》就有內容不同的二條“經率術”[34]。但是,像《算數書》這麽多重復與不能自洽,甚至一條內出現多次重復與不能自洽的地方,絕不是“疏忽”或作者水平限制所能解釋得了的。

我們的這個結論還可以從《算數書》的數學問題的提出方式,答案的表示,術與問題的關係及其表述方式,分數的表示,以及法、實和除法的表示方式多種多樣,沒有統一的格式得到佐證。表示方式的多種多樣說明,《算數書》源自的各種數學著作不是同一個時代的作品,而是在綿延很長時期內若干不同的作者的著作。無論如何,可以肯定地說,《算數書》或者是墓主的家族幾個世紀間父子、兄弟,甚至還有師徒、朋友不斷相傳搜集、摘編並做了某些歸類而成的。但是,摘編的都是些什麽著作,開始寫作於什麽時候,都已經無從考察。

《算數書》的“方田”條由正方形的面積求邊長,不是借助於開方術,而是使用贏不足術;現存的整個《算數書》也沒有開方術的內容。這或者說明當時人們還不會開方術,或者說明《算數書》的摘抄者不重視開方術。起碼可以肯定地說,在“方田”條成立時,人們還不懂開方術。因此,《算數書》“方田”條成立的時代,應該在陳子之前。因爲,陳子是通曉開方術的[35]。程貞一、席澤宗認爲,陳子活動於公元前5世紀。[36]聯繫到我們上面指出的,陳子關於數學知識“類以合類”,其“道術言約而用博”的論述,是“當時存在的數學的總結”,那麽,作爲《算數書》的來源的某些著作,不會晚於公元前5世紀。另外,《算數書》因爲其中一枚竹簡的背面書有“算數書”3字而得名[37],也許,此3字只是被抄錄的其中一部著作的的書名。不過,約定俗成,自1985年以來,它已經成爲這批數學竹簡的總名,沒有必要也不可能再改變這個名稱,事實上也無法考察“算數書”本來是哪部著作的標題了。

總之,《算數書》不是一部系統的專門性的數學著作,而是多年間,甚至長達幾個世紀間不斷地從不同的數學著作中摘錄,並稍加歸類而成的,即所謂撮編作品。它不是一部數學教科書,或爲數學工作者編纂的著作,而是爲了自用或家用,或是爲了負責錢、土木工程、手工業工場的下級官員使用方便編纂的。有的學者把它看成類似於現今的“幹部讀本”的作品,不是沒有道理的。

學術界一直關心《算數書》與《九章算術》的關係。1985年初,出土《算數書》的消息公佈於世,到同年底,人們透露出來的消息說,“《算數書》約七千餘字,算題可分爲七大類、六十餘個小題,算法類包括《合分》(分數加法)、《增減分》、《分乘》(分數乘法)、《徑(經)分》(分數除法)、《約分》等,算題類別還有 《方田》、《粟米》、《衰分》、《少廣》、《商功》、《均輸》、《盈不足》等,它同《九章算術》有很多相同之處,而時代要比《九章算術》早二百多年,它是《九章算術》之源”。[38]這段話摸棱兩可,容易理解成《九章算術》的“方田”、“粟米”、“衰分”、“少廣”、“商功”、“均輸”、“盈不足”等七章的章名,都是《算數書》的標題。因此,學術界多數認爲《算數書》是《九章算術》的前身。有的學者甚至認爲《算數書》是張蒼編撰的。張蒼整理好的數學官簡,留在政府有關部門的那套便發展成了後來的《九章算術》;他又抄了一個複本,“病免”後帶走,就是《算數書》。[39]筆者一向比較謹慎,認爲《算數書》與《九章算術》“兩者的關係有待於研究”[40],亦即有待於《算數書》公佈之後,不過也感到它們有某種血緣關係,正像李學勤先生所說的,或者它們有承襲關係,或者它們同源。[41]目前,《算數書》已經面世,關於《算數書》與《九章算術》的關係,雖然還不能完全解決,但是,已經具備了使我們的認識向歷史真實的彼岸推進一步的條件。

爲了探討這個問題,我們必須簡述一下《九章算術》的編纂問題。這個問題自魏景元四年(公元263年)劉徽注《九章算術》,首次論述《九章算術》的編纂以來,爭論了1700多年。清戴震與近人錢寶琮等否認劉徽的說法,錢寶琮認爲《九章算術》成書於公元一世紀下半葉[42],李迪認爲《九章算術》是劉歆最後定稿的[43]。筆者通過對“九數”和先秦典籍中數學內容的考察,特別是對《九章算術》的體例與結構的分析,認爲劉徽以下論述是完全正確的[44]

周公制禮而有九數,九數之流,則《九章》是矣。往者暴秦焚書,經術散壞。自時厥後,漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘,各稱刪補。故校其目則與古或異,而所論者多近語也。[45]

就是說,劉徽認爲,先秦存在著一部以“九數”爲主體的某種形態的《九章算術》,秦始皇焚書[46]時遭到破壞,經過張蒼、耿壽昌等收集、刪補而成爲後來流傳的《九章算術》。日本堀毅分析、比較了先秦、秦、漢與《九章算術》的物價,得出“以爲《九章算術》裏的物價即漢代物價是頗勉強的。”“《九章算術》基本上反映出戰國、秦時的物價。”[47]堀毅對《九章算術》的物價的分析,進一步“證明了劉徽的話是正確的”。[48]

實際上,《算數書》的標題與《九章算術》的章名相同的只有“方田”、“少廣”兩條,其中《算數書》的“方田”條還不是方田面積問題,而是用贏不足術求面積爲1畝的方田的邊長;兩者術名相同的除以上兩條外,也只有“約分”、“合分”、“徑分”、“少廣”、“大廣”、“里田”等6條。其術名和內容相似的這7條,文字也有相當大的差別,只是“少廣”的題目與《九章算術》少廣術的前9個例題的數字相同。此外,“女織”條題目假設的數字、方法都與《九章算術》衰分章“女子善織”問相同,然而答案的約簡程度不同。另外,還有幾個與《九章算術》的題目類似的條目,如“負米”、“息錢”、“粟爲米”、“粟求米”、“米粟”、“羽矢”、“鄆都”、“芻”、旋粟”、“囷蓋”、“圜亭”、“井材”等,但假設的數字和術文的文字差別都較大,是不同的題目。人們由術文與題目相同而文字有差異可以得出《算數書》是《九章算術》的前身的看法,並且由劉徽的《九章算術》“所論者多近語”的論述得到佐證,然而,一方面,這部分內容在《算數書》中所佔比例相當少,不足十分之一,另一方面,《算數書》與《九章算術》有許多同類的題目,而數字卻完全不同,文字差異亦較大,更重要的,《算數書》中有大量的題目與術文,超過《算數書》條目的三分之二,是《九章算術》所沒有的,因此,就整體而言,《算數書》不可能是《九章算術》之源,也不是《九章算術》的前身,更不可能是張蒼編的同一部書的兩個抄本。

筆者曾經認爲,張蒼、耿壽昌等“將一些適應於當時生産、生活、社會活動需要的算術問題收集、加工,分別歸於(《九章算術》)的第三卷和第六卷”[49]。籠統說來,這個說法沒有什麽錯誤。但是,筆者實際上是認爲這兩部分,尤其是歸於第六卷那部分的數學方法,是漢代才産生的,因而才得出“大體說來,張蒼應以搶救倖免於秦火和戰亂的先秦遺文並加工、整理爲主,耿壽昌應以增補卷三、卷六、卷九及其他各章的某些題目爲主”[50]的看法。考察一下《算數書》,這種看法的不妥當是顯然的。因爲,被補充到《九章算術》卷三、卷六的問題的許多數學方法,特別是“異乘同除”類和“同工共作”類問題的方法,在《算數書》中已經屢見不鮮了。只不過是,《九章算術》沒有照抄《算數書》的任何一個題目,而且有的題目和方法顯然比《算數書》複雜。就是說,像《九章算術》的其他部分一樣,其主要方法在先秦也産生了,張蒼、耿壽昌使用這些方法,設計了一些與西漢的社會實際相適應的問題,補充到卷三、卷六。這也是我們不認爲《九章算術》與《算數書》有承襲關係的一個重要理由。

那麽,《九章算術》與《算數書》是不是有血緣關係呢?由於無法搞清楚《九章算術》在先秦以“九數”爲主體的某種形態的具體情況,而可以肯定地說,《算數書》所源自的數學著作不止一二部,甚至不止三四部,這些著作又不是同時的作品,其時間跨度相當長,因此,這個問題目前仍然無法得出確切的結論。不過,由於兩者的“約分”、“合分”、“減分”、“乘分”、“經分”、“大廣”、“里田”、“少廣”等術,“少廣”、“女織”等題目以及“粟米之法”等有相同或相似之處,它們的一部分有承襲關係或有一個共同的來源,則是無可懷疑的。至於孰早孰晚,有待於進一步考察。

 

總之,《算數書》不僅數學內容十分寬泛、深刻,而且在數學理論上有極大的貢獻,反映了先秦中國數學的一個重要側面。《算數書》中數學問題的提出與答案、術文與問題的關係及其表述方式,分數的表示,以及法、實與實如法而一等數學術語的表示方法多種多樣,沒有統一的格式,並且,有些內容重復,有些內容互相矛盾,不能自洽,說明《算數書》是從已有的幾部數學著作中摘錄、撮編而成的,沒有經過系統的加工、整理。《算數書》有少數術文、題目與《九章算術》類似或相同,說明《算數書》的某些部分與《九章算術》在先秦存在的以“九數”爲主體的某種形態有血緣關係。然而,它們有一部分題目同類而數字不同,《算數書》更有三分之二以上的條目與《九章算術》完全不同,因此,《算數書》不可能是《九章算術》的前身。

 


 

[1] 《算數書》,見:江陵張家山漢簡整理小組,《江陵張家山漢簡〈算數書〉釋文》,《文物》,2000年第9

期,第78~84頁;郭書春,《〈算數書〉校勘》,《中国科技史料》,第22卷第3期第202~219,本文中的《算數書》之文字,均引自該文

[2] 《九章算術》,郭書春校。瀋陽:遼寧教育出版社,1990年。本書通常被數學史界和歷史學界稱爲“

校本”。

[3] 彭浩,《中國最早的數學著作〈算數書〉》。《文物》,2000年第9期,第85~90頁。

[4] 郭書春,《〈算數書〉初探》(待發)。

*本文得到国家自然科学基金资助。资助课题:《算数书》与先秦数学研究。批准号:10171107。曾在The Ninth International Conference on the History of Science and Technic  in China(第九届国际中国科学技术史会议,9~12 October 2001 City University of Hong Kong)上宣读,发表于发表于《法国汉学》第六辑,第505~537页。

[5] 術文加引號者,指此條中未出現此術名,術名爲筆者所定。下同

[6] 同注2,第184~185頁。

[7] 同注2,第359頁。又,《九章算術》,郭書春譯注。瀋陽:遼寧教育出版社,1998年。第378~379頁。

本書的原文部分在校本基礎上作了個別重校。

[8] 同注2,第214頁。

[9] 同注2,第183~184頁。

[10] 郭書春,《古代世界數學泰斗劉徽》。濟南:山東科學技術出版社,1992年。第87~90頁。繁體字修訂本,

臺北:明文書局,1995年。第85~88頁。又,《九章算術》,郭書春譯注。瀋陽:遼寧教育出版社,1998

年。第5~7頁。

[11] 《孫子算經》,郭書春校點,第1~29頁。見:《算經十書》(二),郭書春、劉鈍校點。瀋陽:遼寧教育

出版社,1998年。繁體字修訂本,臺北:九章出版社,2001年。第257~291頁。

[12] 同注2,第245頁。

[13] 同注1087~90;又,85~88.

[14] 《周髀算經》,劉鈍、郭書春校點。5~6。見:《算經十書》(一)。瀋陽:遼寧教育出版社,1998年。

又,繁體字修訂本。臺北:九章出版社,2001年。37~38

[15] 郭書春,《校點〈算經十書〉說明》。4。見:《算經十書》(一)。瀋陽:遼寧教育出版社,1998年。

[16] 郭書春,《關於〈算經十書〉》。此文是注15所引之文的修訂。見:《算經十書》。臺北:九章出版社,2001

年。4

[17] 因無法知道《算數書》原簡的實際情況,筆者在這裏只能依據《釋文》做判斷。下同。

[18] []李約瑟,《中國科學技術史》,第3卷。北京:科學出版社,1978年。337~338。其中關於中國數

學缺少“嚴格求證”的說法,是李約瑟轉引日本的中國數學史家三上義夫的話。

[19] 同注10。頁268~320;又,267~322

[20] “取程”条第3题未以“几何”发问。笔者在《〈算数书〉校勘》中作了误补。

[21] 條目後的數字表示此條中此種形式的題目數。下同。

[22] *”表示此條經過了筆者的校勘。下同。

[23] []許慎,《說文解字·禾部》。北京:中華書局,1963年。146

[24] [戰國]荀況,《荀子·致仕》。見:《二十二子》。上海古籍出版社,1986年。320

[25] 同注2279~297

[26] [戰國]孟軻,《孟子·梁惠王下》。見:《十三經註疏》。北京:中華書局,1980年。2674

[27] 同注1087~90;又,85~88

[28] “圜材”題、術均殘。

[29] “挐脂”條只存二題一術,可能脫一術,故置此。

[30] 南宋本與源於《永樂大典》的戴震輯錄本《九章算術》商功章“委粟術”之劉徽注“容十斗四合一龠五

分之三也”,戴震在屈曾發刻本、孔繼涵刻本中於“五分”之下補“龠”字,其後各校本從。

[31] 此指原簡文字,筆者認爲有誤。

[32] 同注1013~14;又,11

[33] [春秋]管仲,《管子·七法》。見:《二十二子》。上海古籍出版社,1986年。98

[34] 同注2223~224。清末翻刻微波榭本時將第2條“經率術”誤作“經術術”。

[35] 同注146~7;又,38~39

[36] 程貞一、席澤宗,《陳子模型和早期對於太陽的測量》。京都大學人文科學研究所研究報告:《中國古代

科學史論續篇》,3771991年。

[37] 杜石然,《江陵張家山竹簡〈算數書〉初探》。《自然科學史研究》第7卷第3期(1988年),201~204

[38] 陳躍鈞、閻頻,《江陵張家山漢墓的年代及相關問題》。《考古》,1985年第12期。

[39] 李迪,《中國數學通史·上古到五代卷》。南京:江蘇教育出版社,1997年。第94頁。

[40] 郭書春,《中國古代數學》。濟南:山東教育出版社,1991年。5。繁體字本,臺北:商務印書館,19941995年。頁6。修訂本,北京:商務印書館,1997年。6

[41] 李學勤,《中國數學史上的重大發現》。《文物天地》,1985年第1期。

[42] 錢寶琮主編,《中國數學史》。北京:科學出版社,1964年。32~33;又,《李儼錢寶琮科學史全集》,

5卷。瀋陽:遼寧教育出版社,1998年,第35~37

[43] 同注40105~106

[44] 同注1087~105;又,85~103

[45] 同注2177

[46] 這裏還應包括秦末的戰亂,特別是項羽火燒陽。公正地說,這種禍亂對典籍帶來的破壞,必定超過秦

始皇焚書。

[47] []堀毅,《秦漢物價考》。見:《秦漢法制史論考》。北京:法律出版社,1988年。281296

[48] 郭書春,《九章算術導言》。見:郭書春譯注,《九章算術》。瀋陽:遼寧教育出版社,1998年。12~18

[49] 同注10104;又,101~102

[50] 同注10105;又,102


 [邹大海1]此处二“凡”字疑重。