《筭数书》的校勘*

 

 

    中国科学院自然科学史研究所    郭书春

 

  2000年第9期《文物》发表了《数书》的释文。《数书》是20世纪80年代在湖北张家山汉墓出土的数学竹简,是先秦的作品,是现在人们所知道的中国传统数学最早的著作。它内容丰富、深刻,对它的研究将进一步揭开先秦数学的面纱。本文对《释文》作了校勘,写出校勘记近190条。这些校勘内容包括:(1)《释文》中的少量错简;(2)《释文》中字词的大量衍脱舛误,特别是数字计算的错误;(3)互训或通假字不当改动而《释文》做了改动的;(4)原简中若干未被《释文》识别的字。(5)《释文》中个别小标题的处理的失误。笔者相信,《数书》中分数表示方式的不同一,是先秦数学的固有现象,汉张苍等整理《九章算术》,才对此做了标准化处理。因此,不宜以后者为模式改动前者。

关键词:《数书》(A Book of Arithmetic)、校勘(Collation)、中国传统数学(Chinese Traditional Mathematics)

 

《筭数书》是20世纪80年代在湖北江陵张家山247号汉墓中出土的一批数学竹简。笔者同意彭浩先生的意见,《筭数书》应该是秦代或先秦的作品,是我们现在所知道的中国传统数学中最早的著作[1]。它的数学内容如此丰富、深刻,虽无法与《九章算术》比肩,但是,与《孙子算经》等重要数学著作相比,却毫不逊色。考虑到《孙子算经》要晚出六、七百年,那么,《筭数书》在中国传统数学史上的地位是不言而喻的。《文物》杂志2000年第9期发表了《筭数书》的释文[2](以下简称《释文》),是数学史界多年期盼的事。吴文俊先生对公布《筭数书》释文之事一直十分贯注。感谢李学勤先生、彭浩先生,以及江陵张家山汉简整理小组的各位先生,他们为整理《筭数书》下了很大的力气,给我们提供了一个基本可以卒读的《释文》。然而,《释文》中尚有一些错简与漏校,还有一些衍脱舛误,未予校勘。笔者研读之余,试着做一些校勘,共得校勘记近190条,现予发表,敬请方家指正。有些部分脱误严重,无法校补,只好照录《释文》原文。更进一步的校勘,只能俟诸《筭数书》竹简公布之后。需要预先说明的是,“筭”,《释文》改作“算”,似无必要。《说文解字·竹部》:“算,数也。从竹,从具,读若筭。”又,“筭,长六寸,计历数者。从竹,从弄,言常弄乃不误也。”清段玉裁注曰:“筭为算之器,算为筭之用。”又说,“筭”,“算”,“古书多不别”。事实上,宋版算经中,“算”均作“筭”。今径改为“筭”。

另,在笔者完成《筭数书》的校勘,而完成此文之前,接到一杂志送来郭世荣先生关于《筭数书》校勘的大作[1],在此文初稿完成之后,接到《自然科学史研究》杂志送来邹大海先生《出土〈算数书〉初探》[2]一文,都要笔者审查;将此文交《中国科技史料》后,又收到吾友台湾师范大学洪万生教授惠赠《HPM通讯》第3卷第11期(2000年11月),为《筭数书》特刊,专刊洪兄高足苏意雯、苏俊鸿、苏惠玉、陈凤珠、林仓亿、黄清阳、叶吉海等7位青年学子所撰《〈算数书〉校勘》[4]一文。笔者由此三者收益匪浅,多次重新考虑、修正了某些校勘。凡引用郭世荣、苏意雯等校勘者,以及郭世荣、邹大海、苏意雯等的校勘与笔者相同者,均在校勘记中注出,以彰三苏、陈、林、黄、叶、郭、邹诸君的校勘之功。苏、郭诸君之校勘与笔者不同者,则基本上不出注。这里要特别指出,《筭数书》关于分数的表示方式没有同一的格式,而是多种多样。笔者认为,分数表示方式的不同一,反映了先秦数学的一种固有现象,这既表明《筭数书》不是一部系统的而是从不同时代不同作者的若干著作中摘抄而成的著作,也表明在中国传统数学发展史上,西汉张苍、耿寿昌等在整理《九章算术》时,对分数的表示方式(还有其它方面的表述方式)进行了标准化处理。《筭数书》为我们提供了《九章算术》标准化以前,中国数学表示方式的原始资料,是极可宝贵的,笔者将另属文阐述。因此,笔者认为,不宜以《九章算术》的模式改动《筭数书》的表示方式。

又,笔者要再一次感谢彭浩先生,2001年4月下旬,笔者致信彭先生,就《筭数书》校勘中的几个问题,特别是《释文》中“合分”条第1个例题的错讹与第2个例题的错简问题向彭先生请教,不久,收到彭先生5月5日大扎,谓“合分”题中“十一分七”应是“十二分七”的印刷错误。彭先生另纸给出了重新校正的“相乘”条自“寸而乘寸”至“八十分尺一也”的文字。彭先生大扎释疑解惑,有的新校与笔者暗合,有的为笔者原所未及。笔者根据彭先生大扎重新修订了校勘。

本文将小标题用黑体字排印,算表与抽象性的术文用楷体,其余的文字则用宋体,以彰显《筭数书》的理论贡献。笔者相信,继上世纪80年代初以来《九章算术》及其刘徽注[3]之研究热潮后,《筭数书》势将成为本世纪初中国数学史界关注的一个新的热点;对它的研究,必将进一步揭开先秦数学的神秘面纱。

 

 

 

筭数书

 

相乘  寸而乘寸,寸也;乘尺,十分尺一也;乘十尺,一尺也;乘百尺,十尺也;乘千尺,百尺也。  半分寸1乘尺,廿分尺一也;2三分寸乘尺,卅分尺一也;四分寸乘尺,3分尺一也;五分寸乘尺,五十分尺一也;六分寸乘尺,六十分尺一也;七分寸乘尺4,七十5分尺一也6;八分寸乘尺,八十分尺一也。  一半乘一,半也;乘半,四分一也。三分而乘一,三分一也;乘半,六分一也;乘三分,九分一也。四分而乘一也,四分一也;乘半,八分一也;乘三分,十二分一也;乘四分,十六分一也。五分而乘一,五分一也;乘半,十分一也;乘三分,十五分一也;乘四分,廿分一也;乘五分,廿五分一也。 乘分之术曰:母乘母为法,子相乘为实。

1 原简脱“分寸“二字,依彭先生函告补正。   2 原简此处有“杨”字,据邹大海的意见,系简牍雠录者姓氏,今删去。此条下“四分而乘一也”与“四分一也”之间,下“粺毇”条“麦少”与“半升为粟”之间、“粺米”与“四分升之一为毇米”之间,“秏”条“六十三分升”与“之二百卅七”之间、“禀一斗者”与“得粟”之间,“粟为米”条“禾粟”与“五”之间,“粟求米”条“米求”与“粟”之间,“粟米并”条“直米五升”之下、“五米三粟”之下亦有“杨”字,与此同。   3 ”,《释文》作“四十”,依先秦惯例校正。下同,恕不再注。彭先生函告,此处原简作“”。   4 原简脱“寸”字,今校补。郭世荣、苏意雯等亦校补。彭先生函告此处亦补“寸”字。   5自“四分寸乘尺”至此凡39字,《释文》乱在“乘半,卅分尺一也”与“八分一也”之间,今校正,郭世荣、苏意雯等亦校正。彭先生函告的新校亦如此,唯“七十”下仍有“八”字。   6“分尺一也”四字,《释文》乱在“乘半”与“四分寸乘尺”之间,今校正,郭世荣亦校正;又,此四字之前衍“卅”字,今校删,郭世荣亦校删。苏意雯等的校改途径与此稍异,而其结论则相同。

 

分乘  分乘分术皆曰:母相乘为法,子相乘为实。

 

  一乘十,十也;十乘万,十万也;千乘万,千万。一乘十万,十万也;十乘十万,百万;

半乘千,五百。一乘百万,百万;十乘百万,千万。半乘万,五千。十乘千,万也;百乘

万,百万。半乘百,五十。1少半乘少半,九分一也。半步乘半步,四分一;半步乘少半步,

六分一也。少半乘大半,九分二也。四分乘四分,十六分一;四分乘五分2,廿分一;五分

乘五分,廿五分一;3五分乘六分,卅分一也;六分乘六分,卅六分一也;六分乘七分4

二分也;七分乘七分,九分一也;5七分乘八分,五十六分一也。

 

1“一乘十”至此,《释文》在“七分乘八分,五十六分一也”之后,今依意校正。盖先民认识“数”时,

当先认识整数,后才认识分数。分数中,先认识“半”,才认识“少半”。此段文字似亦有错简,应为

一乘十,十也;一乘十万,十万也;一乘百万,百万。十乘千,万也;十乘万,十万也;十乘十万,百

万;十乘百万,千万。百乘万,百万;千乘万,千万。半乘百,五十;乘千,五百;半乘万,五千。

2《释文》脱“四”下之“分”字,今校补,郭世荣、苏意雯等亦校补。   3“五分乘五分,廿五分一”,《释文》在“九分二也”之下,今校正,郭世荣亦校正。   4《释文》脱“七”下之“分”字,今校补,苏意雯等亦校补。   5 “七分乘七分,九分一也”,《释文》在“卅分一也”之下,今校正,郭世荣亦校正。

 

1减分  增分者,增其子;减分者,增其母。

 

1 “增”原简讹作“矰”,依《释文》校正。下第1条“少广”只“增”字同。

 

分当半者  诸分之当半者,倍其母;当少半者,三其母;当四分者,四其母;当五分者,五其母;当十、百分者,辄十、百其母。如欲所分,虽有百分以此进之1

 

[1] “虽有百分以此进之”,《释文》错简于下一条,并且是其全部内容。察此句算理与标题“分半者”毫不相干,而与“如欲所分”相连,今移此,且删去其标题,合二为一。

 

约分  约分术曰:以子除母,母亦除子,子、母数交等者,即约之矣。  有曰1:约分术曰:可半,半之。可令若干一、 若干一。  其一术曰:以分子除母,少2,以母除子,子、母等,以为法。子、母各如法而成一。不足除者可半,半母亦半子。  二千一十六分之百六十二,约之,百一十二分之九。

 

[1] “有”通“又”,《释文》改做“又”,实无必要。清朱骏声《说文通训定声·颐部》:“有,假借为又。”有,表示重复连续。《诗·邶风·终风》:“终风且曀,不日有曀。”郑玄笺:“有,又也。”《荀子·成相》:“不知戒,后必有。”又可用于整数与零数之间。《书·尧典》:“期,三百有六旬有六日。”此下各条凡训“又”之“有”字皆同,恕不再注。本文关于古汉语字词的训解,主要参考《汉语大字典》[5]。   2 “少”通“小”,《释文》改做“小”,实无必要。《文选·蜀都赋》:“亚以少城,接乎其西。”刘逵注:“少城,小城也。”

 

合分  合分术曰:母相类,子相从;母不相类,可倍、倍,可三、三,可四、四,可五、五,可六、六,七亦辄。倍、倍,及三、四、五之如母.  母相类者,子相从。其不相类者,母相乘为法,子互乘母并以为实,如法成一。 今有五分二、六分三、十分八1、十二分七2、三分二,为几何?曰:二钱六十分钱五十七。其术如右方。  有曰:母乘母为法,子羡乘母为实,实如法而一。  其一曰:可十、十,可九、九,可八、八,可七、七,可六、六,可五、五,可四、四,可三、三,可倍、倍,母相类止。母相类,子相从

 

[1] “十”下,《释文》衍“一”字,今依算校删。   2“二”,《释文》讹作“一”,形似而误,今校正。盖

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   ++++=++++=2

彭先生函告《释文》中“十一”系“十二”的印刷错误。

 

径分  径分以一人命其实,故名1 五人分三有半、少半,各受卅分之廿三。其术曰:下有少半,以一为六,以半为三2,以少半为二,并之,为廿三。即值3人数4,因而六之,以命其实。  五人分七钱少半、半钱。人得一钱卅分钱十七。术曰:下三分,以一为六,即因而六人以为法,亦六钱以为实。5  有曰,术曰:下有半,因而倍之;下有三分,因而三之;下有四分,因而四之。

 

[1] “名”,《释文》讹作“曰”,今校正。   2 “三”,《释文》讹作“一”,今依算校正,郭世荣、苏意雯等亦校正。盖1变成6自然变为3,而不是1   3 “值”,《释文》改作“置”,实无必要。值,措置。《说文·人部》:“值,措也。”朱骏声《说文通训定声》云,值,“经传多以置为之”。清洪颐煊《读书丛录·论说文》:“值,本作直,……值与置同,故《说文》训值为措,训措为置,互相转注,其音义并同。”是“值”、“直”、“置”三字相通。此下各条凡训“置”之“值”字皆同。   4“人”,《释文》讹作“一”,今校正。   5自“五人分七钱”至“以六钱以为实”凡41字,《释文》错简于“合分”条“其术如右方”之下,今校正。盖此是一个完整的“径分”题目,而不是“合分”题目,不当在“合分”条中。

 

出金  有金三朱1九分朱五。今欲出其七分朱六,问余金几何?曰:余金二朱六十三分朱四。 其术曰:母相乘也为法,子互乘母,各自为实,以出除焉,余即余也。以九分朱乘三朱,与小五相并2。 今有金七分朱之三,益之几何而为九分七?曰:益之六十三分朱廿二。 术曰:母相乘为法,子互乘母,各自为实。以少除多,余即益也。

 

[1] “朱”,《释文》改作“铢”,似无必要。察《筭数书》全书,凡“铢”皆用“朱”,恐非错讹。下同,恕不再注。   2“并”,《释文》《释文》讹作“除”,今校正,郭世荣亦校正。苏意雯等校作“从”,亦通。

 

共买材  三人共材以贾1,一人出五钱,一人出三钱2,一人出二钱。今有赢四钱,欲以钱数衰分之。出五者得二钱,出三者得一钱五分钱一,出二者得五分钱四。术曰:并三人出钱数,以为法,即以四钱各乘所出钱数,如法得一钱。

 

1 “贾”,此处训买卖,音gu,《释文》改作“价”,句读亦误,殊失原文本意。   2《释文》此处脱“钱”字,今依上下文校补,郭世荣、苏意雯等亦校补。

 

狐出关  狐、狸、犬出关,租百一十一钱。犬谓狸、狸谓狐:而皮倍我1,出租当倍我2。问出各几何?得曰:犬出十五钱七分六,狸出卅一钱分五,狐出六十三钱分三。术曰:令各相倍也,并之,七,为法。以租各乘之,为实。实如法得一。

 

1“而”,《释文》改作“尔”,实无必要。“而”训“你”。《小尔雅·广诂》:“而,汝也。”《书·洪范》:“而康而色。”孔传:“汝当安汝颜色,以谦下人。”《诗·大雅·桑柔》:“嗟尔朋友,予岂不知而作?”郑笺:“而,犹女也。”《左传·昭公二十年》:“余知而无罪也。”杜预注:“而,女也。”   2 “我”,原简讹作“”,形似而误。《释文》改作“哉”,未允。

 

狐皮  狐皮卅五裁1、狸皮廿五裁、犬皮十二裁偕出关,关并租廿五钱,问各出几何。得曰:狐出十二、七十二分十一,狸出八分九,犬出四分十二。术:并贾为法,以租各乘贾为实。

 

[1] “裁”,原简讹作“”,依《释文》校正。此条下二“裁”字同。

 

女织  邻里有女恶自善也织1,日2自再,五日织五尺。问始织日及其次各几何?曰:始织一寸六十二分寸卅八,次三寸六十二分寸十四,次六寸六十二分寸廿八,次尺二寸六十二分寸五十六,次二尺五寸六十二分寸五十3。术曰:直二4、直四、直八、直十六、直卅二,并,以为法。以五尺偏乘之5,各自为实。实如法得尺。不盈尺者,十之,如法一寸。不盈寸者,以法命分。6

 

[1] “善”,《释文》讹作“喜”,形似而误,今校正。“恶”,甚也。《释文》句读误。   2 “日”,《释文》讹作“曰”,依苏意雯等校正。   3 “二尺”,《释文》讹作“一尺”,今依算校正,郭世荣亦校正。   4 “直”,《释文》改作“置”,实无必要。参见“径分”条注3。此下各条凡训“置”之“直“字皆同,恕不再注。   5 “偏”通“徧”、“遍”。《墨子·非儒》:“远施周偏。”孙诒让《墨子间诂》:“偏,与同。”《吕氏春秋·察微》:“故凡战必先悉是偏备,知己知彼,然后可也。”《汉书·贾谊传》:“彼自丞尉以上偏置私人。”《释文》改“偏”作“遍”,实无必要。   6原简于此下有“王已雠”3字,系雠录者标记。

 

并租  禾三步一斗,麦四步一斗,荅五步一斗。今并之,租一石,问租几何?得曰:禾租四斗七分十二,麦租三斗分九,荅租二斗分廿六1。术曰:直禾三步,麦四步2,荅五步。令禾乘麦为荅实,麦乘荅为禾实3,荅乘禾为麦实,各副4直之。以一石各乘之,为实。并诸实,5七,为法而一斗。

 

1 “廿”,《释文》作“二十”,依先秦惯例校正。下文有的“廿”同此,恕不再注。   2“麦”,《释文》讹作“吏”,形似而误。今校正,郭世荣、邹大海、苏意雯等亦校正。   3《释文》脱“麦乘荅为禾实”6字,今依算校补,郭世荣、邹大海亦校补。   4 “副”字处,《释文》阙字,今校补,邹大海亦校补。   5“为实”上,《释文》空3字,依算此处无阙字。《释文》脱“并诸实”3字,今依算校补。

 

负米  人负米不智1其数,以出三23,三税之一。已出,余米一斗。问始行赍米几何。得曰:赍米三斗三升四分三。术曰:直一关4而参5倍为法,有直米一斗而三之,有三倍之而关数焉为实。

 

[1]“智”,通“知”,《释文》改作“知”,实无必要。《墨子·耕柱》:“岂能智数百岁之后哉!”又,《墨子·经说下》:“逃臣不智其处,狗犬不智其名也。”《周髀算经》卷上:“是故能类以合类,此贤者业精习智之质也。”   2《释文》脱“三”字,今依意校补。   3《释文》于“关”下复衍一“关”字,今校删。彭文于“三”下补“三”字,无必要。   4彭文于此下补“余不税者”4字,无必要。   5 “参”,音san,同“三”,《释文》改作“三”,实无必要。《左传·隐公元年》:“先王之制,大都不过参国之一,中五之一,小九之一。”下“粺毇”条“参母,再子”之“参”字与此同。

 

金贾1  金贾两三百一十五钱,今有一朱,问得钱几何。曰:得十三钱八分一。术曰:直一两朱数以为法,以钱数为实,实如法得一钱。 廿四朱一两,三百八十四朱一斤,万一千五百廿朱一钧,四万六千八十朱一石。

 

[1] “贾”,通“价”。《释文》改作“价”,实无必要。《论语·子罕》:“求善贾而沽诸。”《礼记·王制》:“命市纳贾以观民之所好恶。”郑玄注:“贾,谓物贵贱厚薄也。”此下各条凡训“价”之“贾”字皆同。

 

舂粟  禀粟一石,舂之为秏米1八斗八升,今有秏米二斗廿五分升廿二2,当益秏3粟几何?曰:二斗三升十一分升八。术曰:直所得米升数以为法,有值一石粟4升数,而以秏米升数乘之,如法得一升。

 

[1]《释文》脱“秏米”2字,今依意校补。“秏米”是一种精稻。《说文解字·禾部》:“秏,稻属。伊尹曰:饭之善者,玄山之禾,南海之秏。”《江陵凤凰山十号汉墓简牍初探》引84号简文:“市阳租五十三石三斗六升半,其六石一斗当  物,……其一石一斗二升当秏。”   2《释文》脱“今有秏米二斗廿五分升廿二”凡12字,今依算校补。郭世荣亦校补,但未补“有”字。   3 “秏”,《释文》改作“耗”,实无必要。参见此条注1。此条下一“秏”字同。   4 “粟”字前,《释文》衍“米”字,今依算校删。

 

铜秏1  铸铜一石秏七斤八两。今有铜一斤八两八朱,问秏几何?得曰:一两十二朱半2[邹大海1] 术曰:直一石朱数为法,亦直七斤八两者朱数,以一斤八两八朱者朱数乘之,如法一朱。

 

1 “秏”,同“耗”,《释文》改作“耗”,实无必要。《周礼·考工记》:“  氏为量,改煎金锡则不秏。”贾公彦疏:“秏,减也。”下“秏租”条之二“秏”字同,恕不再注。   2 “一两十二朱半”,《释文》讹作“一两十一朱百四十四分朱九十一”,今依算校正。郭世荣、苏意雯等亦校正,唯此所校之“半”字,郭世荣校作“半铢”,苏意雯等校作“二分铢一”,亦通。

 

传马  传马日三1匹共刍、稿二石,令刍三而稿二。今马一匹前到,问予刍、稿各几何。曰:予刍四斗,稿二斗泰2半斗。术曰:直刍三、稿二并之,以三马乘之为法,以二石乘所直各自为实。

 

[1]“三”,《释文》讹作“二”,今依意校正。   2 “泰”,通“太”。“太半”即,《释文》改作“太”,实无必要。(清)段玉裁:《说文解字注·水部》:泰,“后世凡言大而以为形容未尽则作太”。下“程禾”条二“泰”字同,恕不再注。

 

妇织  有妇三人,长者一日织五十尺,中者二日织五十尺,少者三日织五十尺。今织有功1五十尺,问各受几何尺?其得曰:长者受廿五尺,中者受十六尺有十八分尺之十二,少者受八尺有十八分尺之六。其术曰:直一、直二、直三而各几以为法,有十而五之以为实,如法而一尺。不盈尺者,以法命分。三为长者实,二为中者,一为少者。2

 

[1]“功”,原简讹作“攻”,《释文》校正。   2此下原简有“杨已雠”3字,系雠录者标记。又,此问术、答皆误,悉仍旧惯,不予校勘。

 

羽矢  羽二翭1五钱。今有五十七分翭2卅七3,问得几何?曰:得一钱百一十四分钱七十一。术曰:二乘五十七为法,以五乘卅七为实,如法一钱。不盈,以法命分。

[1] “翭”,原简讹作“喉”,依《释文》校正。   2“翭”,原简讹作“侯”,依《释文》校正。   3“卅七”,《释文》讹作“四十七”,今依算校正,郭世荣、苏意雯等亦校正。

 

1  桼斗卅五钱。今有分斗五。问得几何钱。曰:得四钱八分钱三。术曰:以为法,以五乘卅五为实,实如法得一钱。

[1] “桼”,同“漆”。《释文》改作“漆”,实无必要。《说文解字·桼部》:“桼,木汁,可以  物。”《玉篇·木部》:“桼,木汁,可以  物。今为漆。”《汉书·贾山传》:“冶铜锢其内,桼涂其外。” 此条下一“桼”字及以下各条“桼”字皆同,恕不再注。

 

缯幅  缯幅广廿二寸,袤十寸,贾廿三钱。今欲买缯幅从利1广三寸、袤六十寸,问积寸及贾钱各几何?曰:八寸十一分寸二,贾十八钱十一分钱九。术曰:以廿二寸为法,以广从相乘为实,实如法得一寸。 亦以一尺寸数为法,以所得寸数乘一尺贾钱数为实,实如法得一钱。

 

[1] “缯幅”,《释文》讹作“从利”,今依意校正。今按:此为错校,恢复原文。

 

息钱  贷钱百,息月三。今贷六十钱,月未1盈十六日归,计息几何?得曰:廿五分钱廿四。术曰:计百钱一月,积钱数以为法,直贷钱,以一月百钱息乘之。有以日数乘之为实,实如法得一钱。

 

[1] “未”,《释文》讹作“末”,依苏意雯等校正。

 

  1  镸桼2一斗水三斗而槃3。水二斗七升即槃。问余、、水各几何。曰:余 卅七分升卅,余水二升卅七分升七。术曰:以二斗七升者同一斗,卅七也为法。有直廿七、十升者各三之,为实,实如法而一。

 

[1]  ”,同“饮”,《释文》改作“饮”,实无必要。此条下二“  ”字同。   2                                          ”,                     桼”,《释文》改作“    桼”,无必要。   3 “槃”,同“盘”,《释文》改作“盘”,实无必要。下一“槃”字同。《周礼·天官》:“若合诸侯,则共珠槃、玉敦。”郑玄注:“古者以槃盛血,以敦盛食。”

 

税田  税田廿四步,八步一斗,租三斗。今误券三斗一升,问几何步一斗?得曰:七步卅一1分步廿三而一斗。术曰:三斗一升者为法,十税田,令如法一步。

 

[1] “卅一”,《释文》讹作“卅七”。今依算校正,苏意雯等亦校正。

 

程竹 程曰:竹九1寸者为三尺简百八十三。今以八2寸竹为简,简当几何?曰:为二百五简八分简七。术曰:以八寸为法。3  程曰:八寸竹一个为尺五寸简三百六十六。今欲以此竹为尺六寸简,简当几何?曰:为三百三简4八分简一。术曰:以十六寸为法。5

 

[1]“九”,《释文》讹作“大八”,今依术、答计算校正。   2 “八”,《释文》讹作“九”,今依术、答计算校正。   3此下似脱“直程竹,以简数乘之为实。实如法得一简”凡16字。   4 “三百三简”,《释文》讹作“三百廿三”,今依算校正,郭世荣、苏意雯等改“廿”为“四十”。   5此下似脱“直程竹,以简数乘之为实。实如法得一简”凡16字。

 

 

 程曰:医治病者得二百一十一筭百九十一分筭九十九,负1六十筭二百六十九分筭2廿3□□弗……4得六十筭5而负几何?曰:负十七筭二百六十九分筭十一。其术曰:以今得筭为法,令六十乘负筭为实。

 

[1]《释文》脱“二百一十一筭百九十一分筭九十九,负”凡16字,今依术、答计算校补。盖假设提问及答案是正确的,负筭的分母应为 269,由此及术文算得医治病者得筭为 211   2 “二百六十九分筭”7字处,《释文》脱而空2字,今依算校补。   3“廿”字下,《释文》衍“筭”字,今校删。   4“程”字上,《释文》空2字,下空1字;“弗”字下,原简不清,不知脱多少字,无法校补。   5《释文》脱“筭”字,今校补。

 

石1    之术曰:以所卖买为法,以得钱乘一石数以为实,其下有半者倍之,少半者三之,有斗、升、斤、两、朱者亦皆破其上,令下从之以为法,钱所乘亦破如此。

 

[1]   ”,通“率”。邵瑛《群经正字》:“古  、率多通,经传书有之。是率字即  字也。”《释文》改作“率”,实无必要。此条下一“  ”字及“贾盐”条“  ”字同,恕不再注。

 

贾盐  今有盐一石四斗五升少半升,贾,取钱百五十,欲石之,为钱几何?曰:百三钱四百卅六分钱九十二1。术曰:三盐之数以为法,亦三一石之升数,以钱乘之为实。

 

[1] “四百卅六分钱九十二”,《释文》讹作“四百卅分钱九十五”,今依算校正,郭世荣、苏意雯等亦改“五”作“二”。

 

挐脂  为挐,米一斗、水一斗半斗1、脂廿斤,为挐脂卅六斤。今有脂五斤,问用米、水、为挐各几何?得曰:用米二升2半升,水三升四分升三,为挐九斤。术曰:以廿为法,直水十五、米十、挐卅六以五乘之为实,实如法得水、米各一升、挐一斤。不盈,以法命分。其以挐、米、亦一两,得九分之五也。3   有米三升,问用脂、水4各几何,为挐几何?曰:用脂六斤、水四升半升5,为挐脂十斤十二两十九朱五分朱一。

 

[1]“斗”,《释文》讹作“升”。今依算校正,郭世荣亦校正。下“米粟并”条二“十六分斗之八”、“粟米并”条“三分斗一”之“斗”字同。   2 “升”,《释文》讹作“斗”。今依算校正,郭世荣亦校正。此条下“水三升”、“有米三升”及“取程”条“欲干之令一升”之“升”字同,恕不再注。   3自“为挐,米一斗”至此,《释文》错简于“为挐脂十斤十二两十九朱五分朱一”之后,今校正。盖“为挐,米一斗、水一斗半斗、  脂廿斤,为挐脂卅六斤”是挐脂的数量标准,应在条首,诸应用题之前。  4  “水”,《释文》讹作“米”,形似而误。今校正,郭世荣亦校正。   5 “四升半升”,《释文》讹作“二升半升”,今依算校正,郭世荣、苏意雯等亦校正。

 

取程  取程十步,一斗。今乾之八升,问几何步一斗?得田1十二步半一斗。术曰:八升者为法。直一斗2步数而十之,如法一步。  竞程卅七步,得禾十九斗七升。问几何步一斗?得曰:减田一3步有百4九十七分步百七十三5而一斗。  取程五步一斗6,今乾之一斗一升。欲乾之7令一升8,问减田几何9?得曰:减田十一分步五。术曰:以10一升数乘五步,令十一而一。

 

[1]《释文》于“得田”前衍“问”字,今依意校删。   2 “斗”,《释文》讹作“升”,依郭世荣、苏意雯等校正。   3 “一”字前,《释文》衍“十”字,今依算校正。   4《释文》脱“百”字,今依算校补。   5 “百七十三”,《释文》讹作“七十九步”,今依算校正。   6 “一斗”有误,然不影响计算。   7 “乾之”,《释文》讹作“减田”,今依意校正。郭按:原文不误,此系错校。  8 “升”,《释文》讹作“斗”,今校正。  9《释文》脱“问减田几何”凡5字,今依意校补。郭按:原文不误,此系误补。  10“以”字下,《释文》衍“一斗”,今校删。

 

秏租  秏租产多乾少。曰:取程七步四分步一而一1斗。今乾之七升少半升,欲求一斗步数。曰:九步四分步卅2九而一斗3。术曰:直十升,以乘七步4四分步一,如乾成一数也。程它物如此。

 

[1]《释文》脱“而一”2字,今依意校补。   2 “卅”,《释文》作“三十”。依先秦及本书惯例校正。下文有的“卅”同,恕不再注。   3 “曰九步四分步卅九而一斗”,《释文》错简于“如干成一数也”之后。今依意校正。   4 “步”,《释文》讹作“斗”,今依算校正,郭世荣、苏意雯等亦校正。

 

程禾  程曰:禾黍一石为粟十六斗泰半斗,舂之为粝米一石,粝米一石为米九斗, 米九1斗为2米八斗。  程3曰:稻禾一石为粟廿斗,舂之为米十斗,为、粲米六斗泰半斗。麦十斗为4   三斗。  程曰:麦、菽、、麻十五斗为一石,禀5者,以十斗为一石。

 

[1]《释文》脱“九”字,依彭文校补。   2 “毇”,原简讹作“毁”,《释文》校正。此条下二“毇”字及“粺毇”、“粟为米”条之“毇”字同。舂米使其精曰毇。《说文解字·毇部》:“毇,米一斛舂为八斗也。”与此同。   3 “程”字前,原简有“王”字,系雠录者姓氏,参见“相乘”条注2。下“粟米并”条“以十斗乘之为实”下亦有“王”字,与此同。   4原简脱“为”字,彭浩校补。此条下“十五斗为一石”之“为”字同。   5 “糳”,原简讹作“  ”,《释文》校正。

 

取枲程  取枲程十步,三尺12束一,今乾之廿八寸,问几何步一束?十一步有九十八分步七而一束3术曰:乾自乘为法。生自乘,有以生一束步数乘之,为实。实如法得一4

 

[1]《释文》脱“尺”字,今依算校补,郭世荣亦校补。   2 “韦”,通“围”,为计算树木圆周的单位。《字汇补·韦部》:“韦,与围通。”《释文》改作“围”,实无必要。下“以圜材方”、“以方材圜”条之“韦”字同。   3 “十一步有九十八分步七而一束”,《释文》错简于此条末,今依体例校正。   4《释文》脱“一”字,今依意校补。

 

误券  租禾误券者,术曰:毋升者,直税田数以为实。而以券斗为一,以石为十,并以为法。如法得一步。  其券有斗1者,直与田步数以为实。而以券斗为一,以石为十,并以为法。如法得一步。  其券有升者,直与田步数以为实。而以券之升为一,以斗为十,并为法。如法2得一步。

 

[1]“斗”,《释文》脱,依郭世荣、苏意雯等校补。   2“法”,《释文》作“· ”,今校补,郭世荣、苏意雯等亦校补。

 

租误1  田一亩租之十步一斗,凡租二石四斗。今误券二石五斗,欲益耎其步数,问益耎几何?曰:九步五分步三而一斗。术曰:以误券为法,以与田为实。

 

[1] “误”,原简讹作“吴”,《释文》校正。

 

 米少半升为十分升之三,九之,十而一。米少半升为米十五分升之四,八之,十而一。米少半升为麦半升,三之,二而一。  麦少半升为粟廿七分升之十,九母,十子;十之,九而一。1麦少半升为米九分升之二,参母,再子;二之,三而一。麦少半升为五分升之一,十五母,九子;九之,十五而一。麦少半升为五分升之八,十五母,八子。  米四分升之一为粟五十四分升之廿五,廿七母,五十子。米四分升之一为米十八分升之五,九母,十子。米四分升之一为米九分升之二,九母,八子。米四分升之一为麦十二分升之五,九母,十五子。  米四分升之一为米十六分升之五,八母,十子。四分升之一为卅二分升九,八母,九子。米四分升之一为麦卅二分升之十五,八母,十五子。米四分升之一为粟八分升之廿五,廿四2母,五十子。

 

[1]《释文》脱“十子十之九而一”凡7字,今参考上下文,依算理校补。苏意雯等补作“十子九之十而一”,疑系笔误。   2 “廿四”,《释文》讹作“廿五”,今依计算校正,郭世荣、苏意雯等亦校正。

 

  粟一石秏一斗二升少半升。稟米少半升者得粟七百八十九分升之五百,稟一升者得粟一升二百六十三分升之二百卅七,稟一斗者得粟一斗九升有二百六十三分升之三,稟一石者得粟十九斗有二百六十三分升之卅。  粟石秏五升。稟米少半升者得粟百七十一分升之百,稟一升者得粟一升有二百八十五分升之二百十五1,稟一斗者得粟十七升有二百八十五分升之百五十五2,稟一石者得粟十七斗五升有二百八十五分升之百廿五。

 

[1]“二百十五”,《释文》讹作“二百七十五”,今依算校删,郭世荣亦校删。苏意雯等校作“二百一十五”,亦通。   2 “百五十五”,《释文》讹作“百五十”,今依算校补,郭世荣、苏意雯等亦校补。

 

粟为米  麻、麦、菽、三而当米二;九而当粟十。粟五为米三;米十为九,为八。麦三而当稻粟四,禾粟五为稻粟四。

 

粟求米  粟求米,三之,五而一;粟求麦,九之,十而一;粟求,廿七之,五十而一;粟求米毁1,廿四之,五十而一;米求粟,五之,三而一。

[1] “米毀”,同“”。《集韵·纸韵》:,“或作米毀。《釋文》改作“”,实无必要。

 

粟求米  粟求米,因而三之,五而成一。今有粟一升七分三,当为米几何?曰:为米七分升六。术曰:母相乘为法,以三乘十为实。

 

米求粟  以米求粟,因而五之,三成一。今有米七分1升六,当为粟几何?曰:为粟一升七分升三。术曰:母相乘为法,以五乘六为实2

 

[1]“分”,原简讹作“  ”,《释文》校正。   2 “六为实”处,《释文》空3字,今依算校补,郭世荣、苏意雯等亦校补。

 

米粟并  有米一石、粟一石,并提之,问米、粟当各取几何?曰:米主取一石二斗十六分斗八,粟主取七斗十六分斗八。术曰:直米十斗、六斗,并以为法,以二石扁1乘所直各自为实。六斗者,粟之米数也。

 

[1] “扁”,通“遍”,“”,《释文》改作“遍”,实无必要。《庄子·知北游》:“扁然万物自古以固存。”成玄英疏:“扁然,生之  也。”《荀子·修身》:“扁善之度,以治气养生,则后彭祖。”王念孙《杂志》:“扁,读为……善者,无所往而不善也。”

 

粟米并  米一、粟二,凡十斗,精之为七斗三分斗一。术曰:皆五,米、粟并为法。五米、三粟,以十斗乘之为实。   有米、粟不知数[1],合粟、米精之为米一斗,问2米、粟各出3 几 何?得曰:米六升四分升之一,粟三升四分升之三4。术曰:直米五升,粟五升。粟五升为米三升,并米五升者八,以为法。乃更直三升5、五升, 而十之。令如法,粟、米各一升。□□□ 二斗五升6其术曰:直米、粟,五米三粟,并,以为法。并米、粟,各乘之,为实。实如法而成一。……石五十有7

 

[1]  “有米、粟不知数”处,《释文》空6字,今依意校补。   2 “精之为米一斗,问”处,《释文》空7字,今依算理校补。郭世荣补“精之为米一斗问粟”8字。   3 “粟各出”处,《释文》空3字,今依意校补。   4 《释文》脱“粟三升四分升之三”凡8字,今依术文计算校补。   6 《释文》脱“三升”2字,今依下文校补。盖下文为“粟、米各一斗”,此处当有粟为米之数。   6 原简于此处有若干空字及“二斗五升”4字,当是此条第3个题目的残文。无法校补。   7  原简于此下有若干空字及“石五十有”4字,当是此条第4个题目的残文。无法校补。

 

负炭  负炭山中,日为成炭七斗到车,次一日而负炭道车到官一石。今欲道官往之,负炭中,负炭远到官,问日到炭几何?曰:日得炭四斗十七分斗1二。术曰:取七斗者十之,得七石。七日亦负到官,即取十日与七日并为法。如法得一斗。

 

[1] “十七分斗”,《释文》讹作“十一分升”,今依算校正,郭世荣、苏意雯等亦校正。

 

卢唐  程曰:一日伐竹六十个,一日为卢唐十五,一竹为三卢唐。欲令一人自伐竹因为卢唐,一日为几何?曰:为十三卢唐十三分之十一1。术曰:以六十五2为法,以六十3乘十五为实。

 

[1]“十三分之十一”,《释文》讹作“四分之三”,今依算校正,郭世荣亦校正。   2 “六十五”,《释文》讹作“六十”,今依意校正,郭世荣亦校正。   3 “六十”,《释文》讹作“五十五”,今依意校正,郭世荣亦校正。

 

羽矢  程:一人一日为矢卅、羽矢廿。今欲令一人为矢且羽之,一日为几何?曰:为十二。术曰:并矢、羽以为法,以矢、羽相乘为实。

 

丝练  以级丝求练,因而十二之,除十六而得一。

 

  甲行五十日,今今日壬申,问何日初行?术曰:问壬申何旬也,曰:甲子之旬也。既道甲数到任(壬)九日,直九有增1

 

[1] 此条脱误太多,无法校补。郭世荣云:原文有问无答,术也不完整。释读者没有在末尾加上标点,可能也有同样的看法。案:干支记日法自甲子日始至癸亥日止,六十日周而复始。凡遇到甲为旬首。现在壬申日为甲子旬第九日,而所行五十日正好是整旬,且比一个记日周期少十日,所以原术中说“置九有增”,意为增加一旬即可得所求日干支。干支第九日壬申加一旬为第二旬第九日,即壬午日。从壬午日到壬申的前一日辛未日正好是五十日。这也说明“甲行五十日”是不包括壬申当日的,即已“行”完五十日了。简言之,答案为“曰:壬午日初行。”依《筭数书》行文惯例,答案应在“术曰”前。今录此,备考。

 

分钱  分钱人二而多三,人三而少二,问几何人、钱几何?得曰:五人,钱十三。术曰1:赢2不足互乘母,并之3为实,子相从为法。4皆赢若不足,子互乘母而各异直之,以子少者除子多者,余为法,以不足为实。

 

[1]《释文》脱“术曰”2字,今依意校补。   2 “赢”,通“盈”。二郑云先秦“九数”,“盈不足”正作“赢不足”。此可为二郑之说的佐证。《释文》改作“盈不足”,实无必要。本书以下诸“赢”字同,恕不再注。

3原简脱“并之”,依彭文校补。   4此下似脱“母以少减多,余,以约法、实,法为人,实为钱”。

 

米出钱  1米二斗三钱,粝米三斗二钱。今有粝、粺十斗,卖得十三钱,问粝、粺各几何?曰:粺七斗五分三,粝二斗五分二。术曰:令偕23也,钱赢二;令偕粝4也,钱不足六少半。同赢、不足以为法,以赢乘十斗为粝,以不足乘十斗为粺,皆如法一斗。   米斗一钱三分钱二,黍斗一钱半钱。今以十六钱买米、黍凡十斗,问各几何,用钱亦各几何?得曰:米六斗、黍四斗,米钱十、黍六。术曰:以赢不足,令皆为米,多三分钱二;皆为黍,少钱。下有三分,以一为三,命曰多56少三,并多而少为法。更异直二、三,以十斗各乘之,即贸其得。如法一斗。

 

[1]“粺”,原简讹作“粝”,《释文》校正。   2 “偕”,通“皆”。《释文》改作“皆”,实无必要。《墨子·明鬼》:“今若使天下之人,偕若信鬼神之能赏贤而罚暴也。”孙诒让《墨子间诂》:“偕,与皆通。”《左传·襄公二年》:“降福孔偕。”杜预注:“偕,遍也。”此条下一“偕”字同。   3 “粺”,《释文》讹作“粝”,今依意校正,郭世荣、苏意雯等亦校正。此条下一“粺”字同。   4 “粝”,《释文》讹作“粺”,今依意校正,郭世荣、苏意雯等亦校正。此条下一“粝”字同。   5 “多”,《释文》讹作“各”,形似而误。今校正,郭世荣亦校正。   6 “二”,《释文》讹作“而”,音近而误。今校正,郭世荣保留“而”字,此前加“二”字。

 

方田  田一亩,方几何步?曰:方十五步卅一分步十五。术曰:方十五步不足十五步,方十六步有余1十六步。曰:并赢、不足以为法。不足子乘赢母,赢子乘不足母,并以为实。复之,如启广之术。

 

[1] “余”,《释文》讹作“徐”,《释文》校正。

 

  1除,其定二2丈,高丈二尺,其除广丈,袤三丈九尺,其一旁毋高。积三千一百廿尺3。术曰:广积4尺,以5除高6、袤乘之,六成一7,即定。

 

[1]“羡”,《释文》讹作“美”,形似而误。今依意校正,郭世荣亦校正。   2 “二” 《释文》讹作“方”,今依意校正。   3 “三千一百廿尺”,《释文》讹作“三千三百六十尺”。今依算校正。   4 ”,《释文》讹作“卅”,今依算校正。   5《释文》脱“以”,今依意校补。   6 “高”字下,《释文》衍“以其广”,今依意校删。   7《释文》脱“六成一”3字,今依算校补。

 

郓都1  郓都下厚四尺,上厚二尺,高五尺,袤二丈,积2百卅三尺少半尺。术曰:倍上厚,以下厚增之,以高及袤乘之,六成一。

 

[1]“郓都”是《九章算术》的“刍甍”。彭文认为“郓都”是“堑堵”,未允。   2 “积”,原简讹作“责”,《释文》校正。

 

 刍童及方阙,下广丈五尺、袤三丈;上广二丈、袤四丈;高丈五尺。积九千二百五十尺。术曰:上广袤、下广袤各自乘;又上袤从下袤,以乘上广;下袤从上袤,以乘下广;皆并。以高1乘之,六成一。

 

[1] 《释文》脱“以高”2字,今依算校补,郭世荣、邹大海、苏意雯等亦校补。

 

旋粟  旋粟高五尺,下周三丈,积百廿五尺。二尺七寸而一石,为粟六石廿七分石之八。其术1曰:下周自乘,以高乘之,卅六成一。  大积四千五百尺。

 

[1] “术”,原简讹作“述”,《释文》校正。下“囷盖”、“圜材”条之“术”字同。

 

囷盖  囷盖下周六丈,高二丈,为积尺二千尺1术曰:直如其周,令相乘也,有以高乘之,卅六成一。

 

[1] 《释文》于此下衍“乘之之”3字,今依意校删。

 

1  圜亭上周三丈,大周四丈,高二丈。积二千五十五尺卅六分尺廿。术曰:下周乘上周,周自乘,皆并,以高乘之,卅六成一2 今二千五十五尺分廿3

 

[1]“圜”,原简讹作“”,《释文》校正。下“以圜材方”、“以方材圜”、“圜材”条标题中之“圜”字同。  

2《释文》脱“一”字,今依体例校补。苏意雯等亦校补。   3此“今二千五十五尺分廿”凡9字,似系本条上一问题的逆问题的残文。

 

井材  圜材、井窌若它物,周二丈四尺,深丈五尺,积七百廿尺。术曰:1周自乘,以深乘之,十二成一。  一曰:以周2乘径,四成一。积3一百半,问4径几何5

 

[1]“耤”,通“藉”。《玉篇·耒部》:“耤,借也。”《汉书·郭解传》:“以躯耤友报仇。”颜师古注:“耤,古藉字,藉谓借助也。”王先谦补注:“古书耤、藉、借通用。”《释文》改作“藉”,实无必要。下第1条“少广”之“耤”字同。   2 “周”字处,《释文》空一字,今依算校补,邹大海亦校补。苏意雯等谓此处可能脱“周、径”2字。   3《释文》脱“积”字,今依算校补。   4《释文》于此处有“?”号,似无舛误。

5 “几何”2字处,《释文》空2字,今依意校补。

 

以圜材方  以圜材为方材,曰大四韦二寸廿五分寸十四,为方材几何?曰:方六寸五分寸二1术曰:直大四韦2,因而五之为实,令七而一四3

 

[1]“六寸五分寸二”,《释文》作“七寸五分寸三”,今校正。郭世荣校作“七寸五分寸二”,而将前文“二寸廿五分寸十四”校作“二寸廿五分寸廿四”。   2《释文》脱“直大四韦”4字,今依算校补。   3笔者与郭世荣均认为此题是已知圆的直径大于其内接正方形的边长2(或 2),由方57求正方形的边长。苏意雯等于“四”下校补“而一”2字。苏意雯等谓:此题讨论圆与其内接正方形的周长关系。其算法为42×5×× = 7 。可能是将正方形边长与其对角线比57 (方五斜七)的关系,误推广至内接正方形与圆的周长比。,进而求得正方形的边长为7 3/5。值得注意的是,正确推算出之圆与其内接正方形的周长比应为7π:20

 

以方材圜  以方为圜曰材,方六寸五分寸二1,为圜材几何?曰:四韦二寸廿五分十四。术曰:方材之一面即圜材之径也,因而二2之以为实,令五而成一。3

 

[1]“六寸五分寸二”,《释文》作“七寸五分寸三”。郭世荣校作“七寸五分寸二”,而将后文之“二寸廿分十四”校作“二寸廿分寸廿四”。   2 “二”,《释文》作“四”,依郭世荣校正。   3此题是已知正方形的边长,求其对角线大于其内切圆的直径的部分。苏意雯等谓:本题讨论正方形与其内切圆的周长关系。算法似为上题的逆运算7×4××7 = 42。但是因为本题为讨论正方形与其内切圆的关系,和上题讨论的圆与其内接正方形的关系并不相同,可能是因作者或抄书人误解其中的题意才会有这样的算法。

 

圜材  有圜材一(?)断之□市□□□□□□大几何?曰:七(?)十(?)六(?)□□四寸半寸。术曰:□自乘以……一即成。1

 

[1] 此条脱误太多。假定此为已知圜材(圆柱体)的袤及横截面积求其体积的问题,试校如下:有圜材一尺,断之周匝十四尺五分。问积几何?曰:一十六尺有四寸半寸。术曰:周自乘,以袤乘之,十二而一,即成。

 

启广  田从1卅步,为启广几何而为田一亩?曰:启八步。术曰:以卅步为法,以二百四十步为实。启从亦如此。

 

[1] “从”通“纵”,古算经常用。《释文》改作“纵”,实无必要。此下各条中凡训“纵”之“从”字皆同,恕不再注。

 

启从  广廿三步,为启从求田四亩。曰:启从一步廿三分步之十七。1   术曰:直四亩步数,令如广步数,而得从一步。不盈步者,以广命分。复之,令相乘也。有分步者,以广乘分子,如广步数,得一步。  广八分步之六,求田七分步之四2,其从廿一分之十六。  广七分步之三,求田四分步之二,其从一步六分步之一。  求从术:广分子乘积分母为法,积分子乘广分母为实,实如法一步。即3以广、从相乘,凡4[邹大海2] 令分母相乘为法,分子相乘为实,实如法一。

 

[1]《释文》脱“曰一步廿三分步之十七”凡13字,今依算校补。   2 “七分步之四”,《释文》讹作“一分之四”,今依算校正。苏意雯等之另一种意见亦如此校改。   3 “即”,原简讹作“节”,《释文》校正。

4《释文》复衍一“凡”字,今校删。

 

少广  1少广之术曰:先直广,即曰:下有若干步,以一为若干,以半为若干,以三分为若干,积分以尽所求分同之,以为法。即直田二百步,亦以一为若干,以为积步。除积步如法,得从一步。不盈步者,以法命其分。   有曰:复之,即以广乘从,令复为二百,田一亩。其从有不分者,直如法增不分,复乘之,以为小十2;有分步者,以广乘分子,如广步数,得一步。

 

[1] “求”,原简讹作“救”,《释文》校正。此条下一“求”字同。   2 此句似有讹误。

 

少广1:广一步、半步。以一为二,半为一,同之三,以为法。即值二百步,亦以一为二。除如法,得从一步,为从百六十步。因以一步、半步乘。  下有三分,以一为六,半为三,三分为二,同之十一。得从百卅步有十一分步之十,乘之田一亩。  下有四分,以一为十二,半为六,三分为四,四分为三,同之廿五。得从百一十五步有廿五分步之五,乘之田一亩。

   下有五分,以一为六十,半为卅,三分为廿,四分为十五,五分为十二,同之百卅七。得从百五步有百卅七分步之十五,乘之田一亩。  下有六分,以一为六十,半为卅,三分为廿,四分为十五,五分为十二,六分为十,同之百七。得从九十七步有百七分步之百2,乘之田一亩3  下有七分,以一为四百廿,半为二百一十,三分为百,四分为百五,五分为八十四,六分为七十,七分为六十,同之千八十九。得从九十二步有千八十九分步之六百一十二4,乘之田一亩。  下有八分,以一为八百,半为四百廿,三分为二百八十,四分为二百一十,五分为百六十八,六分为百,七分为百廿,八分为百五,同之二千二百八十三5,以为法。得从八十八步有二千二百八十三分步之六百九十六,乘之田一亩。

  下有九分,以一为二千五百廿,半为千二百六十,三分为八百6,四分为六百卅,五分为五百四,六分为四百廿,七分为三百六十,八分为三百一十五,九分为二百八十,同之七千一百廿九,以为法。得从八十四步有七千一百廿九分步之五千九百六十四7,乘之成田一亩。 下有十分,以一为二千五百廿,半为千二百六十,三分为八百,四分为六百卅,五分为五百四,六分为四百廿,七分为三百六十,八分为三百一十五,九分为二百八十,十分为二百五十二,同之七千三百八十一,以为法。得从八十一步有七千三百八十一分步之六千九百卅九8,乘之成田一亩。

 

[1] 此条标题,《释文》未印成黑体字,今改。   2《释文》脱“步百一”凡4字,今依算校补,郭世荣、苏意雯等补作“步一百四十一”。   3 “乘之田一亩”,《释文》错简于此条之末。今依意校正。郭世荣、苏意雯等亦校正,然途径稍异。   4“有千八十九分步之六百一十二”,《释文》错简于此条末“乘之成田一亩”与“乘之田一亩”之间,并于“有”前有“步”字,而于此处衍“五百四十一”5字。今依意校正。郭世荣、苏意雯等亦校正,然途径稍异。   5“二千二百八十三”,《释文》将“二千”讹作“于”,“八”字处空字,今依算校补。郭世荣、苏意雯等亦校补,然途径稍异。   6“八百”,《释文》讹作“八百卅十”,今依算校正,郭世荣、苏意雯等校作“八百四十”。   7“五千九百六十四”,《释文》讹作“五千七百六十四”,今依算校正。苏意雯等亦校正。   8“九百卅九”,《释文》“九”讹作“八”,“卅九”处空字,今依算校正,郭世荣改作“九百三十九”。

 

大广  广十二1九分步之七,从十三步七分步之四,问为田几何?曰:2为百3六十四步有三百三分步之二百七十三。大广术曰:直广从,而各以其分母乘其上全步,令分子从之,令相乘也为实。有各令分母相乘为法。如法得一步。不盈步,以法命之。

 

[1]“十二”,《释文》讹作“七”,今依算校正,见注3   2 “七,从十三步七分步之四,问为田几何?曰”处,《释文》空17字,今依算校补,见注3   3 “百”字处,《释文》空1字,今依算校补。其理由如下:假设答案中“六十四”之下的文字无讹误,那么依常例,“六十四”前的空字或为“田”,或为“百”。若为前者,即答案为64=。其分母343 = 49×7,可见《释文》中此大广田广的分数部分的分母49并无讹误,假设其分子x,依残存文字,广为7。那么,从的分数部分的分母应为7,可以假设其分子为z,整数部分y,亦即从为 y。因此,

7× y =  

(49×7 + x)(7y + z)÷343 = 22225÷343

(49×7 + x)(7y + z) =22225 = 127×5×5×7

z 07应是左端49×7 + x 的因子,同时49×7 + x 49×7 = 343,故

                 49×7 + x = 127×7 = 889

                 x =889 - 49×7 =546 = 49×11 + 7

换言之,

                 49×7 + x = 49×18 + 7

于是,广应修正为18,即“广十八步四十九分步之七”。第二个因子应为25,即

                 7y + z = 25 = 7×3 + 4

于是,从为三步七分步之四。

   若为后者,答案为164 = ,因此,

                [ (49×7 + x)÷49 ][ (7y + z)÷7 ]= 56525÷343

                 (49×7 + x) (7y + z) = 56525 =19×17×5×5×7

同样,若z07应是49×7 + x 的因子,49×7 + x 49×7 = 343 。取其最小因子,应为

                 17×5×7 = 12×49 + 7

广的整数部分应修正为12x = 7,即 “广十二步四十九分步之七”。第二个因子为

                 19×5 = 95 = 13×7 + 4

因此,“从十三步七分步之四”。以上两种可能性中,我们认为后者更合理些,故取此作校勘。             

 

里田  里田术曰:里乘里,里也,广、从各一里。即直一,因而三之,有三五之,即为田三顷七十五亩。  其广从不等者,先以里相乘,已,乃因而三之,有三五之,乃成。 今有广二百廿里,从三百五十里,为田廿八万八千七百五十顷。 直提封以此为之。  一曰:里而乘里,里也。壹,三而三五之,即顷亩数也。  有曰:里乘里,里也。因而五之1,以里之下即予廿五,因而三之,亦其顷亩数也。曰:广一里、从一里,为田三顷七十五亩。

 

[1] 《释文》脱“因而五之”凡4字,今依算校补。

 

 

参考文献

[1]  彭浩.中国最早的数学著作《算数书》.文物.1990,9:85-90.

[2] 江陵张家山汉简整理小组.江陵张家山汉简《算数书》释文.文物.1990,9:78-84.

[3] 郭书春汇校.九章算术.沈阳:辽宁教育出版社.1990:177-456.

[4]  苏意雯等.《算数书》校勘.HPM通讯.2000,311:1-20.

[5]  汉语大字典编辑委员会.汉语大字典.湖北辞书出版社、四川辞书出版社.1992.


 

[1] 郭世荣.《算数书》勘误.将在《内蒙师大学报》2001年第3期发表。

[2] 邹大海.《算数书》初探.《自然科学史研究》第20卷第3期(20017月)。

*本文得到国家自然科学基金支持(批准号10771086),发表于《中国科技史料》第22卷(2001年)第3期,第202~219页。

 

 

 


 [邹大海1]79页。

 [邹大海2]此处二“凡”字疑重。