以物理学观点评中国古代数学著作

戴念祖  卫中

(中国自然科学研究所,北京,100010

汪达开

(南京师范大学物理系,南京,210024

 

摘要  该文从中国古代数学著作中梳理出与物理学有关的某些算题,他们的物理内容包括运动学、斜面、螺旋设计、堤坝设计与流体静力学、固体的比重、横梁高宽比数等。从历史观和价值观上分别对这些算题作出评述,同时也对古代数学与物理学相关性作出评估。

关键词  数学著作,物理学史,古代,中国

中图法分类号  N09

 

  中国古代有极为丰富的数学著作,研究它们的数学史论著也汗牛充栋。或许,由于长期未从其他学科和工程技术角度揭示古代数学题本身的科学概念及其价值(沈康身的一篇文章史从这方面进行探索的仅此一例[1]),因而造成了中国古代数学只是算数而已的印象。本文仅从物理学观点入手评述。这自然要说明,在古代数学著作中蕴涵了哪些物理思想或知识?它们具有多少历史的或科学的价值?为了了解古代科学的概貌,还要进一步探讨古代数学与物理学之间的关系。

  本文并非对古代数学著作逐一加以评述,而是从大量的数学著作中梳理出几个与物理学相关的问题,并就此加以讨论。

1         运动学

古代数学著作普遍地以运动学为内容而设想了各种算题。所谓运动学,只是涉及时间、路程、速度或加速度的物理学。或许,运动学与人们的劳动生产和生活关系极为密切,因而引起古人的重视。《九章算术》卷六《均衡》中列有以下算题:

  “今有程傅委输,空车日行七十里,重车日五十里。今载太仓粟输上林,五日三返。问太仓去上林几何?”

  “今有兔先走一百步,犬追之二百五十步,不及三十步而止。问犬不止,复行几何步及之?”

  “今有客马日行三百里。客去忘持衣,日已三分之一,主人乃觉。持衣追及之而返,至家视日四分之三。问主人马不休,日行几里?”

  “今有枭起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海。今枭雁俱起,问何日相逢?”

  “今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七日至长安。今乙先发二日,甲乃发长安。问几何日相逢?”

  上述五个算题的具体计算并不困难。我们感兴趣的是它们所反映的物理意义。看来,古人清楚地知道与匀速运动相关的概念。这些算题都是在速度、时间、路程、或几种速度比例、时间与路程关系等条件中设定某些已知条件的。路程、速度与时间这三个匀速运动中的基本物理量,在古代算题中得到充分的反映,并把它们联系了起来。值得指出的是,这种联系是以数学为纽带的,包括设定题目本身和寻求数学解答在内,体现了古人关于运动学的知识水平和思想水平。

  在《九章算数》卷七《盈不足》中的一些算题更值得我们注意和讨论。例如:“今有良马与驽马,发长安至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里,日增三十里;驽马初日行九十七里,日减半里。良马先至齐,复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何?”

  “答曰:151日(为了节省篇幅和便于阅读,将原文繁长的汉字数字改写成今日通行形式,下同笔者注)而相逢。良马行4534里;驽马行1465里。”

  古代人以“盈不足”术解答此类问题:假令良、驽二马于第十五日相逢,则不足3371/2里;假令二马于第十六日相逢,又赢余或多了140里。于是,在“盈”与“不足”之间找到一种计算方法[2]。我们试用现代方法求解它:

  1)解两个一元一次方程的简单计算,列出15天内良、驽二马的路程:

 

第一天

第二天

第三天

第四天……第十五天

合计

良马

193

206

219

232……375

4260

驽马

97

96.5

96

95.5…...95

1402.5

15天内两马共行路为5662.5里。

在第十五天结束时,二马相距为6000-5662.2=337.5里。故两只马相逢尚需时间为

=

该结果与《九章算数》答案同。

2)鉴于该算题中分别给出了良、驽二马“日增十三里”与“日减半里”的数值,不妨将它们看作加速度值,并以现代物理学中的路程(s )、时间(t)、加速度(a)和初速度(v)的关系式

s=vt+at

求解之。

以物理方法求解此题时需要注意初速值究竟是多少。该题中给出的19397是良、驽二马第一天的平均速度值,并非初速值[3]。它们的初速值分别为

193-13+186.5    97+()=97.25

于是,运动路程的方程式为

186.5t+ (13) t+97.25t- (1/2)t=6000

6.25t+283.75t=6000

解得时间T值为15.70950403日。它与《九章算数》答案非常接近,仅在小数点下第三位数起有所偏差。解此类题是,我们采用的是瞬时加速度值,而题目本身物理概念是在平均加速度的范畴内。由此也足见,古代中国人娴熟地掌握并运用了平均加速度的概念。

  值得注意的是,刘徽在注《九章算数》良、驽二马的运动题中,将加速度值称为“益疾里”或“减迟里”。这是伽利略于17世纪提出“加速度”之前、在物理学史上两个最简洁明了的关于运动学的科学术语,它是近代科学兴起之前人类在概念或观念上认知运动学的一块界标。这两个术语分别相当于近代物理学上的“正加速度”和“负加速度”。刘徽还将正负加速度数值统称位“益疾减迟之数”。回顾17世纪时,当伽利略提出“加速度:概念对于物理学、甚至整个科学兴起和人类认识自然的思想变革作用,就不能不计及刘徽的功劳。《九章算数》大约成书于西汉时期,魏晋时代刘徽为其做注。刘徽是在伽利略之前约13个世纪、在关于运动学习题的解答计算中提出这一概念的。至于这个概念并未促使中国人去探讨落体问题,并未产生近代科学兴起时的研究气氛,以后将另文探讨之。

  类似的算题在《九章算数• 盈不足》中还有:

  “今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半。问几何日相逢,各穿几何?”

  “今有垣高九尺。瓜剩其上,蔓日长七寸;匏生其下,蔓日长一尺。问几何日相逢,瓜、各长几何?”

  “今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺。蒲生日自半,莞生日自倍。问几何日而长等?”

  诸如此类,举不胜举。即使在今日,若将它们收编在一起,也是一本颇具特色的初等运动学习题集。以算题形式总结运动学知识是中国物理学史的特点之一,它在中国起源甚早。中国古代数学著作中集中如此之多有关运动学的算题在古代文化中确属罕见。

  除此之外,在《九章算数•句股》中还有些算题不仅给出了速率,而且指出速度方向。例如:

  “今有而人同所立。甲行率七。乙东行,甲南行十步而邪(斜)东北与乙会。问甲乙各行几何?”

  “今有邑,方十里,各中开门。甲乙俱从邑中央而出。乙东出;甲南出,出门不知步数,邪向东北磨邑,适与乙会。率甲行五,乙行三,问甲乙各行几何?”

  所谓甲乙的“行率”,即二者的速度比。速度方向是由他们的行走方向确定的。“行率”与方向二者相结合,就是速度矢量。从数学算题中可以看到,古代已有初步的速度矢量的概念。[4]

  分别给出速率和运动方向的算题在古代数学著作中是常见的。尤其是元代李冶的《测海圆镜》一书,绝大部分算题具有这种特色。速度矢量概念对古代中国人而言并不陌生。

2        斜面、螺旋与记里鼓车

 古代数学中有个别算题涉及简单机械,如斜面、螺旋。古代人在生产劳动中经常运用斜面生重(第216页-224页[3])。《墨经》中有一条文字专门分析“车梯”,即斜面引重车的受力情形[5]。《荀子•宥坐》写道:

  “三尺之岸而虚车不能登也,百仞之山任负车登焉,何则?陵迟故也。”

然而,这些文献记载都是对斜面的物理作用提出定性叙述而已,极少有量的叙述或分析。在《九章算数•方程》重有一道算题是关于三类马分别拉同等重物上坡,其中给出了具体数值。它从数学这一侧面反映了古代人对斜面的认识。

  “今有武马一匹,中马两匹,下马三匹,皆载四十至阪,皆不能上。武马借中马一匹,中马借下马一匹,下马借武马一匹,乃皆上。问武、中、下马一匹各力引几何?”

  “答曰:武马一匹引22石;中马一匹引17石;下马一匹引5石。”

  从这道题中可知,三类马行平地,都能拉动40石重载。上坡时,却都拉不动了。这是因为,马拉车行平地,只要克服重载的滚动摩擦力即可;而上坡,除克服摩擦力外,还要重载沿斜坡的分量。这个斜面方向的重载分量是随坡度增加而增加的。因此,上坡要比行平地付出更大的力。从这点看,该题的物理意义是正确的。但是,从答案中我们很容易知道,下马三匹的总力为17石,这是平地拉车所需要的力。中马一匹的力也为17石,可见平地拉车时有一匹中马是多余的。由此看来,拟订这道题并非合理。待到上坡时,武马一匹加中马一匹的力,中马两匹加下马一匹的力,下马三匹加武马一匹的力,均为40石。显然,上斜坡所用的马力不仅绰绰有余,甚至可以将重载举上斜坡了。

  从数学上看,这道题颇为有趣。但从物理学看,它有失严格。至少可以从题意中得出,古代人尚未知斜面力分解的有关知识。但是,这道题却是最早引入数据的斜面力学问题。至于斜面上的力的分解方法,在西方也是到16世纪时才由斯特芬(S.Stevin,1548-1620)首次提出的。

  螺旋、螺杆或阿基米德螺旋,是西方古代文明的产物。李约瑟(J.Needham,1900-1995)在比较中西两方的机械成就时曾指出,它是能给中国文明有所贡献并且是中国真正缺少的机械零件之一[6]。可是,在理论和数学上,古代中国人对螺旋是了解的。

  《九章算数•句股》中有一道算题中写道:

  “今有木长二丈,围之三尺。葛生其下,缠木七周,上与木齐。问葛长几何》答曰:两丈九尺。”

这道题的几何形状如图1所示。从图中我们立刻会想到,它就是螺旋、螺杆的机械画图。该算题中所求的“葛长”就是螺旋线的长度,有螺旋线长及其旋转的周数,古代数学家也会容易地求得其螺距,即相邻两劝螺旋线之间得距离。可见,中国古代人虽没有在技术上发明并运用螺旋,但在理论上他们懂得有关螺旋得力学知识,甚至让他们设计某重螺距的螺旋也并不困难。明末,王徽与传教士邓玉函合译《远西奇器图说》,将西方的螺旋首次译为“藤线器”[7]。其意义与《九章算数》题中的绕木之葛完全相同。王徽的译法实乃古代中国的传统说法。

  长期以来,人们只是说:“中国古代科学只有技术,没有理论。现在看来,至少螺旋实一个特例:它有理论,而没有相关的技术实践。这个特例,是值得科学史家重视和讨论的。自然,有关葛藤绕树的想法与螺旋的设计实践尚有一段距离。若是在古代中国有应用螺旋的生产需要,无疑中国人会将它创造出来。值得我们注意的是,刘徽在该算题注中已经摆脱了天然生长的葛藤,而设想了以线绕木,并提出了螺距问题。刘徽注到:

  “据围广、木长,求葛之长,其形葛卷裹袤。以等管青线宛转,有似葛之缠木,解而观之,则每周之间自有相间成句股弦。”

  “每周之间”的句长正是螺旋的螺距。若不是古代中国的榫卯结合的技术非常娴熟,若不是钢铁制钉的普遍性,大概迟至刘徽时代螺旋、螺钉、螺帽、螺杆都会应运而生的。

  记里鼓车并非简单机械,而是简单机械的联合。它是用做测量路程长度的机械。史籍中最早的有关记载见于汉代刘歆(一说为晋代葛洪)所撰的〈西京杂记〉:

  “记道车,架四,中道。”[8]

这个记载只能说有了记里车的名称,即“记道车”。〈晋书•舆服志〉的记述稍微清楚写。它写道:

  “记里鼓车架四,形制如司南,其中有木人执槌向鼓,行一里,则打一槌。”

  所谓“架四”是架于四匹马,“司南”是指南车。此后历代史书有关记载大同小异,直到〈宋史•舆服志〉才详细记叙了卢道隆和吴德仁各自制造的记里鼓车,[9](也见[3],第239页)。由于早期的记载过于简略,令人怀疑:汉晋时期是否制造成功记里鼓车?〈孙子算经〉卷下有一道算题涉及轮周于路程的计算,它是与记里鼓车密切相关的。该书写道:

  “今有长安、洛阳相去900里,车轮一匝一丈八尺。欲自洛阳至长安,问轮匝几何?”

显然,这道题是在记里鼓车的设计、制造,甚至于成功的应用之后出现的,数学家根据当时的发明而拟设了这样一道算题。《孙子算经》成书于公元400年左右,[10]即晋末。可见,晋代人已创制了记里鼓车,当无疑义。《孙子算经》中这道题为确定记里鼓车的发明年代起了重要作用。

  颇有趣的是,根据《宋史•舆服志》记载,宋代卢道隆、吴德仁各自设计的记里鼓车中,其车轮周长仍然为一丈八尺。从《孙子算经》成书到11、12世纪,记里鼓车车轮大小的设计书从未改易。可见,中国古代的科学文化传统在时间上的延续之长。

3        堤坝设计于流体静力学知识

  堤坝的修筑,要考虑水深与静水压强。堤坝的横断面应符合水力学的要求,才能保其坚固。根据水深和静水压强分布,堤坝的下底要比上顶宽。从横剖面看,它象一个梯形、或直角梯形、等腰梯形,如图2所示。

  早在春秋战国,人们已注意到堤坝设计中的水力学要求:《管子• 度地》指出其横断面要“大其下,小其上”;《考工记• 匠人》认为,堤坝从下至上成减杀之势。但是,缺少定量的数据。最早对堤坝设计提供了数据的是《九章算数• 商功》。它写道:“今有堤,下广二丈,上广八尺,高四尺,袤一十二丈七尺,问积几何?”

从水深与水压考虑,这道算题完全符合物理意义。该水堤端面下大上小,下与上的厚度比例未2.5:1或5:2。

  《九章算数》成书之后几百年,《孙子算经》中有一道完全类似的算题:

  “今有堤,下广五丈,上广三丈,高两丈,长六十尺,欲以一千尺作一方,问积几何?”

这道题提供的堤坝的下厚与上厚的比例为5:3。显然,它比《九章算数》所例题的堤坝厚度要大得多。乍一看来,这些算题是随意例举数字。其实不然。厚度比是与水深相关得,水越深,要求厚度比有所增大,也即堤厚度要有所增大。《孙子算经》所拟题中,堤岸“高二丈”,远大于《九章算数》所拟题得“高四尺”得坝高。这就表明,古代人确实知道静水压强随水深加大的基本事实。

  5:3的堤坝下上厚度比是与修筑堤坝的材料和技术相关的。随着材料与技术的进步,这个厚度比是会改变的。见于古代的水平,这个比例数可能在很长一段时间中被人们采用。知道宋代,还是如此。秦九韶在其著《数书九章》卷十三《记造石坝》中的设计如下:

  “砌石坝一座,长三十丈,水深四丈二尺,令面阔三丈。石板每片长五尺,阔二尺,厚五寸,用灰一十斤。每层高两尺,差阔一尺。”

所谓“面阔三丈”,即坝顶厚度;每层“差阔一尺”即每层的厚度比其上一层阔一尺。这样,由上顶到底推算,该书提供的答案为“坝下阔五丈”。可见,坝下上的厚度比为5:3。

  紧接《记造石坝》之后的令一道算题是《计浚河道》。题中指出,“开通运河,就土筑堤,……其堤下广二丈四尺,上广一丈八尺”。这个泥土河堤的下上厚度比为4:3。筑坝材料、水深等因素不同,改变了堤坝的下上厚度比例。而5:3的比例对应于水面较深的大型堤坝当无疑问。

  就同一河流的堤岸而言,各段堤岸要随河流走向、地势、水深而变化。古代人充分认识到这一点,并将那种两头高宽、上下比例都不同的堤称为“龙尾堤”。唐代王孝通撰著的《缉古算经》第4问写道:

  “假令筑龙尾堤,其堤从头高,上阔以次低狭至尾。上广多,下广少,堤头上下广差六尺。”

这里所谓“上广多,下广少”,是整道堤的头与尾而言的堤顶厚度。

该书第3问所例举的龙尾堤是在地势复杂、水深变易等条件下拟设的,它写道:

   “假令筑堤,西头上下广差六丈八尺二寸,东头上下广差六尺二寸,、;东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六持九寸。”

从题中给出的“上下广差”西头远大于东头;九高度而论,西头也大于东头。可见,这堤的西头水深、东头水浅。或许,东头傍山,整道堤坝是从山坡开始呈现离开山坡的趋势。这种堤坝在山区是常见的。虽然,算题作者可以随意假定其中的数字,但是,龙尾堤的存在及其是否坚固、与民休戚的关系,作者决不敢违背当时人们的水力学常识而编造题目。

  在修筑堤坝中,往往遇上穿山渠。在山中穿凿渠道,其上下四面无疑经受的住静水压力,其关键是要避免流水冲击、山土崩塌,以致堵塞渠道。因此,穿山渠的横截面必须是倒梯形。也就是,其上广要大于下广。在古代数学著作中,有关的算题也是极为合理的。如《九章算数•商功》写道:

  今有穿渠,上广一丈八尺,下广三尺六寸,深一丈八尺,袤五万一千八百二十四尺。问积几何?“

  在古代数学著作中类似算题多有所见。除此以外,城墙的建筑也是上下厚度不等地,上厚小于下厚。这除了防止大水淹没城镇的功用外,也有建筑学与建筑技术的要求。不再一一举例。

4        固体的比重

  古代人对固体的比重的认识包括测量固体比重的方法和具体的测定数值两方面。古代数学著作涉及了这两方面的知识,尤以测定值为丰富。近年的科学史研究中,有些文章对此作了较好的探讨【11】。

  《考工记粟氏为量》写道:

  “粟氏为量,改煎金锡,则不耗,然后权之。权之,然后准之。准之,然后量之。”

在“权” 、“准” 、“量”这三道计量程序中,对后二者的看法有两种不同的意见。东汉杜子春在《周礼杜氏注》中首先认为,“准”作“水”,“准之”乃用水量。鉴于《考工记》成书时代,是否有较为精确量器以便计量水之多寡,尚有疑义。因此,清代江永又推测道:“或者先以方器贮水令满,定其重,乃入金锡于水,水溢,取出金锡再权其水,视所减之斤两与分寸,可得金锡大小之比例。后人算金、银之法如此,疑古人亦用此法。”【12】这实际上是阿基米德原理的应用。《考工记》成书年代比阿基米德早400余年,这种方法是否为春秋战国之际的工匠所采用,实难断论。

  另一种意见是由东汉郑玄先提出。他在《周礼考工记》注中认为,“准,击平正也,又当齐大小。”这意思是,先将金属锤击平正,使之成一定大小尺寸,以此便于计算其体积。其后,就可以一句权得的重量和准得的体积计算其比重。后来,刘鰴在注《九章算数•少广》中持相同的观点。刘徽说:

  “《周官考工记•粟氏为量》:改煎金锡,则不耗,然后权之。权之,然后准之。准之,然后量.言炼金使极精,而后分之,则可以为率也。”

  所谓“而后分之”,大概就是将提炼极精的金属分成长、宽、高各为一寸的小方块,或许干脆将熔炼成的液态金属浇注于这种立方模器中,这种小立方块就成为“可以为率”的标准快乐。此后,不少人持此一说【13】。郑玄、刘鰴的说法,比较可信。

在测定固体物质比重方面,黄金最早引起人们的注意。据《汉书•食货志下》载:

“太公为周立九府圜法:黄金方寸而重一斤.

这是传说周初太师吕尚(又称姜太公)所作的测定值。或者,至晚也是汉代初的测定值。至魏、晋时代,刘鰴注《九章算数•少广》中指出:

“黄金方寸重16两,金丸径寸重九两。率生于此,未曾验也。”

刘鰴的注解口气表明,方寸黄金的重量、径寸金丸的重量早为先人所测定。刘鰴作此注的目的是要求人们,根据已知的比重值和黄金的任一体积,而解答该体积下金丸的直径为几何。

  除此之外,《九章算数•盈不足》还记载了玉、石的比重,并要求人们据此推算混合玉石体重玉与石各自的重量。它写道:

  “今有玉、方一寸重七两;石、方一寸重六两。今有石立方三寸,中有玉,并重十一斤。问玉、石各重几何?答曰:玉,一十四寸,重六斤二两;石,一十三寸,重四斤十四两。”

至晋末,《孙子算经>卷上留下了七种物质的比重测定值。他们是:

“黄金方寸重一斤。白银方寸重一十四两。玉方寸重一十二两。铜方寸重七两半。铅方寸重九两半。铁方寸重六两。石方寸重三两。”

  在这七种物质的比重值中,黄金、玉、石是以前测量过的,玉、石的比重值不同于《九章算数》所载的数值,大概是因为其中成分不同所致。令人奇怪的是,虽然历代度量衡的大小并不相同,而黄金立方寸的重量却并未变易。甚至在唐代成书的《夏侯阳算经》(卷下)有关算题中,仍然采用“金方一寸、重一斤”的说法。在《孙子算经》例举的上述七种物质比重中,银、铜、铅和铁四种数值是首次载于典籍的测定值。它在历史上具有重大影响。直到明代,程大位在其《算法统宗》卷一《诸物轻重率》中仍然照搬照用这些数值。

  成书于公元466-485年间(第325页【10】)的《张丘建算经》卷上有一算题表明当时可能曾经有人重新测定黄金与白银的比重:

  今有金方七、银方九,秤之适相当。交易其一,金轻七两。问金、银各重几何?答曰:金方重十五两十八铢;银方重十二两六铢。“

  这道算题可能是根据当时的测定结果、甚而测定方法而拟设的。其黄金于白银的比重值都比《孙子算经》小。虽然有了这新的测定值,但是,黄金“方一寸,重一斤“的观念直到元代才受到一点点怀疑。元代,朱世杰在其《四元玉鉴》卷中《如意混合》的一道算题中对此采取这种方案。他写道:

  金方一寸重一十五两一十八铢,银方一寸重一十二两六铢(原注:金银方寸之重皆按张丘建术);玉方一寸重七两(原注:按黄帝九章法)。”

  在同一道算题中采用两种不同时代的比重测定数据,大概不只是为了使答数完美,其中当有朱世杰思虑之处。他可能想过,张丘建术中的数值总比《九章算数》、甚而西周初的测定值要新近一些时代。

  明末起,受西方科学的影响,数学著作中所列的物质比重的测定值更多,本文不一一例举。这里,值得一提的是,古代的数学著作,如祖暅的《权衡经》、《称物重率数》【14】,可能主要是涉及物质比重的测量方法及其测定值。可惜,它们均已亡佚。最后,我们列出以上所述比重测定值的结果,并将他们按各代与今日度量衡大小关系换算成今值(见表1)。

1  数学著作中所载物质比重的测定值(单位:克/厘米3)﹡

朝代

文献

西汉

19.63

 

 

 

 

8.59

7.36

九章算数

16.83

14.37

10

7.89

6.31

12.63

3.16

孙子算经

南朝

15.68

11.98

 

 

 

 

 

张丘建算经

今测值【15

19.32

10.49

11.34

8.93

7.86

 

 

 

*据国家计量总局主编的《中国古代度量衡图集》附“中国古代度量衡器物一览表”中给出的西汉、晋、南朝三代尺与权的实测值。将此三代实测值作统计平均,得出西汉一寸2.325厘米,晋一寸2.44厘米,南朝一寸2.5厘米,西汉一斤246.66克,晋和南朝一斤244.61克。依此作古今换算。

  从表1看来,以黄金为例,《九章算数》测定值较为接近今测值,而晋与南朝两代与今测值偏离越来越大。这是因为后者的尺度越来越大,而每斤所相当地克数却变化甚微的缘故。由于不能准确把握上述三代度量衡实际情况,因而表1的换算值仅可勉强作参考,而要判断孰更准确,似也难矣。但是,这些数值表明,古代中国很早就有比重的概念,注意某些固体物质的比重测定,最早测量了黄金、白银、玉、石、铜、铁和铅的比重,而且有自己的测量方法和各种混合体比重的计算方法。阿基米德测定黄金、白银比重的工作比周初吕尚晚约600年,但他并未留下具体的测定值。阿拉伯人阿勒•哈奇尼(Al-Khazini)于1137年写成《智慧秤的故事》,测定了金、铜、铅等五种物质的比重,并创造了“比重”一词【16】,但他是在《孙子算经》成书后约800年所作的工作。中国古代数学著作中留下的有关记载,其科学史价值就可想而知了。

5 横梁宽高比

  横梁宽高比是近代建筑力学和材料力学中一个极为重要的问题。上古时代,人们可能想过,未加工的圆木比加工成方形、矩形木做梁要坚固些,但却招致梁断屋塌的危险。以何种形状木材作梁?矩形梁的高宽比取何种数值才能使其强度和刚度最大?这是近代科学技术中一大课题。我们先简略从历史谈起。

  令人惊讶的是,古代中国人早在公元前5000年就开始采用矩形梁,梁木的安装方法是以其横截面的长边a作高、矩形边b作宽(图3)。浙江河姆渡遗址中不仅如此安装梁木和木枋,而且,几十根梁头榫的端面高宽数为22.5*5.5厘米[17],其中a:b≈4:1。这个经验截面在上古时代是相当科学的。

  据《国语•鲁语》载,鲁成公十六年(公元前575年)鲁大夫公孙婴齐(又作字叔声伯)曾说:

  “吾闻之不厚其栋、不能任重

  此说极有道理。“厚为矩形梁的高,“厚其栋”就是要加大梁的高度(《淮南子•泰族训》书引《国语》这句话时,将“厚”改为“大”字;三国韦昭在注《国语》时,又将“厚“字译为“大”。改动一个字,科学认识的历史价值就消失殆尽。秦火之后,文人不解先秦典籍着,不乏其例)它表明,春秋战国时期的建筑师经验地知道增大梁木横断面的高度对于承重的重要性。

  然而,这些记载都是定性的经验认识,缺少极为重要的高宽比数据。不少文章认为,最早发现这一比例数的是宋代李诫,他在《营造法式》中提出了a:b=3:2的高宽比数【18】。究竟中国人何时提出横梁高宽比,对这个比例数的认识如何发展的?从先秦迄止唐代,历史文献是否真留给我们一片空白?这些问题正好在古代数学著作中可窥见一二。

  《九章算数•句股》中有一算题,涉及从圆木中锯取矩形木的具体数字。该书写道:

“今有圆材,径二尺五寸。欲为方板,令厚七寸,向广几何?答曰:二尺四寸。”

刘鰴注云:“此以圆径二尺五寸为弦,板厚七寸为句,所求广为股也。”

这道题告诉我们,如何将直径为2.5尺的圆木锯成 厚*广=0.7*2.4平方尺的矩形木。加工如此巨大的木料,虽算题中未告知其用途,但人们不难想到,它是为横梁设计的。或者,该算题本身就是来源于营匠的实践经验。将这样的矩形木摆放在梁上,以其截面长边为高、短边为宽则矩形梁的高宽比为3.43:1。该比数比较河姆渡遗址的梁枋比数要进步多了。它很可能是汉代前后木构建筑中梁与枋的工作制度。甚至于宋代,蒲田玄妙观三清殿(建于1009年)中还有高宽比(为3.05:1)极其近似的梁木(第115页[18])。只不过唐宋起,这样比数的梁木越来越少。而逐渐趋于李诫《营造法式》规定的比数。

  当然,在唐宋之前,除了3.43:1的梁木之外,可能还有不少正方形梁木,即高宽比为1:1的梁木。《张丘建算经》卷上有一算题就是这种梁的制作反映。它写道:

  “今有圆材,径头二尺一寸,欲以为方,问各几何?答曰:一尺五寸。”

值得指出的是,解这道题是以“方五斜七”为据的。等边直角三角形的两边各为5,则其斜边为7。这个约略数值可能就是起源于营建工人将圆木加工成方梁的经验值。中国古代重视实践的数学家照此搬用为拟设算题罢了。数学家通过算题总结“行而下者的实践经验。

  方形梁木,直到宋代也偶有所用。建于公元964年的华林寺大殿中有0.92:1和0.93:1的梁(第114页【18】),其比值接近于方形梁。自然,方形梁不如矩形梁的强度大。

  由此可见,在汉唐之际,人们对横梁高宽比的认识尚未完全成熟。此时,既有一定比数的矩形梁,也有方形梁。李诫的《营造法式》总结了唐宋时代的营建经验,得到科学的矩形梁高宽比值。

  在西方,达芬奇和伽利略都作过矩形梁承重试验,但他们并未认识到高宽比数的重要性。1720年,法国数学家帕朗特(A.Parent,1666-1716)讨论了圆木中截取具有最大强度矩形梁的方法,其结论为,梁的高宽比应为:1。虽然他的数值精确性有极大提高,但从整个科学认识水平而言,此时才有了与《九章算数》相同的思想。此后,英国物理学家托马斯•杨(Thomas Young,1773-1829)在1807年证实,刚性最大的梁,其高宽比为:1;强度最大的梁,其高宽比为:1。《营造法式》的比数恰好在杨实验的两个比数之间。或许,李诫既考虑了材料的强度,又考虑了其刚度,才作出了3:2的高宽比数的选择。

  以上所述,让我们看到,在横梁的科学认识方面,人类经历了从河姆渡到西周、到《九章算数》和《张丘建算经》、再进入《营造法式》的古代时期,然后才是达芬奇、伽利略、帕朗特和杨的近代科学的实验时期。中国古代的有关成就令人惊叹,而古代数学著作中留下的记载又弥补了长达上千年的人类有关的认识史。

  由上可见,中国古代数学著作中含有丰富的物理经验、知识和某些法则。它表明,古代数学著作不仅仅是为了“算术”而已,而是反映了古代人对自然知识的认识和理解程度。数学著作中的算题,其区别于其他著作的根本特点是,在于它把握了自然现象或物理现象的数量关联,从而体现了这些知识的数量结果。而这正是近代科学产生的基础。仅这一点而言,古代数学著作在物理学史上的价值是不言而喻的。

  然而,古代数学著作亦未曾与物理学结合得更紧密些。即:除了极少有的几个概念外,它没有给物理学提出概念、公理或属于物理规律的演绎与推导方法等内容。当然,这不能责怪古代数学家。这是由中国古代的物理学与数学二者的特点决定的。首先是物理学本身,在古代并未发展成形,除了声学之外,其他物理分支学科都极为薄弱,几乎未曾表现出对数学的需要。就以“速度”概念而论,虽然中国古代先进的计时器可以测出约6-14秒的时隔,但在古代,人们一直以“日”作为速度量纲中的时间单位。这就很难要求数学家在时间概念上作出飞跃变革、甚而提供一种微分方法来处理瞬时变速问题。另一方面,数学家在拟设算题的过程中,鲜有涉及物理概念或思想。就以固体比重而论,他们从未思考过测定比重的物理条件和测定方法,甚至没有一个数学家提出类似“比重”的概念或术语。大家都因袭工艺学者的方寸多少重”这一说法。正如人们已经指出的一样,中国古代数学著作没有对算术名词或概念给出定义,没有对其术文作出任何 推导或证明【19】。因此,要指望它对物理名词或概念作定义界说,或对物理过程作出演绎推导,这亦是不可能的事情。

  就物理学史的角度而言,“益疾里” 、“减持里”和“垛积术”(本文限于篇幅,有关垛积术与物理学史关系,留待它文再叙述。)这些概念也许是个例外。沈括称垛积术为“隙积”。他定义说:“隙积者,谓积之有隙者,如累棋、层坛及酒家积罂之类。虽似覆斗,面面皆杀,缘有刻缺及虚隙之处。”【20】“垛积”实则乃晶体物理学初期的“密堆积”,将其译为close packing亦极为合适。然而,当杨辉、朱世杰大大发展垛积术时,他们仅注意堆垛果子数和层数,而对于其中密排方法却一字未有交代。

  从近代科学兴起以来,数学与物理学的结合日益紧密。回顾历史上的科学,自然不能以今日的眼光要求他们应该怎样或不应该怎样。实在地说,中国古代数学著作给我们留下了值得重视和研究的有关物理知识,它们大多是定量的记述,从而弥补了其他文献的不足或缺漏。

参考文献

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2 白尚恕译.九章算数今译济南:山东教育出版社,1990,339-342

3 戴念祖.中国力学史.石家庄:河北教育出版社,1988,10

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5         中国科学院自然科学史所编.钱宝科学史论文集.北京:科学出版社,1983,486

6         潘吉星主编.李约瑟文集.沈阳:辽宁科学技术出版社,1986,294

7         [明]邓玉函口授、王鰴译.远西奇器图说.卷二,丛书集成初编本

8         [晋]葛洪.西京杂记.卷五,四部丛刊本

9         王振铎.科技考古论从.北京:文物出版社,1989,22

10     宝琮校点.算经十书.北京:科学出版社,1963,275

11     王燮山.中国古代所测定的物质比重.自然科学史研究,1985,4(4),305;王燮山我国古代测定的固体比重及其量测方法.物理通报,1983,(6),47;李迪.我国古代的比重测定和应用.科技史文集,第12辑,上海科学技术出版社,1984,122

12     【清】江永.周礼疑义举要•考工记.卷六,丛书集成初编本

13     【宋】林希逸.虞斎考工记解.文渊阁四库全书本;【明】徐昭庆.考工记通.檀弓考工通合刻本;【清】江永.律吕阐微.文渊阁四库全书本

14     【唐】魏鰴.隋书•经籍志.卷三十四,中华书局校点本

15     王燮山.中国古代所测定的物质比重.自然科学史研究,1985,4(4),307

16     【美】弗•卡约里著,戴念祖译.物理学史.呼和浩特:内蒙古人民出版社,1981,23

17     浙江省文物管理委员会等.河姆渡遗址第一期发掘报告.考古学报,1978,(1),47-48

18     老亮.中国古代材料力学史.长沙:国防科技大学出版社,1991,110

19     郭书春汇校.九章算数.沈阳:辽宁教育出版社,1990,18;李济悯.九章算数校证.西安:山西科学技术出版社,1993,34

20     【宋】沈括.梦溪笔谈•技艺.卷十八,文渊阁四库全书本